从一道题目看“转化思想”

时间:2024-12-26 03:49:13 来源:作文网 作者:管理员

我们在解决数学问题时,常常把有待解决或难以解决的问题,通过某种转化手段,使它转化成已经解决或比较容易解决的问题,从而求得原问题的解答,这里运用的就是转化思想.教育家维果茨基认为,学生发展具有两种水平:一是已经达到的发展水平,二是可能达到的发展水平。从某种程度上来说,转化思想就是从“已达到的发展水平”,上升到“可达到的发展水平”,使学生在原有的基础上,提高分析和解决问题的能力。

题目:设x,y是正实数,求代数式 + 的最大值.

此题属于基本不等式范畴,但形式上看又有差距,需要进行一定的转化变形,将未知转化为已知是解决此题的关键。

一、利用整体思想转化为基本不等式

我们知道运用基本不等式a+b≥2 求最值时需要满足两个特征:一是左边a,b同为正数(a,b同为负数时为a+b≤-2 );二是右边ab之积需为一个常数。而形如 + 的代数式也是符合的,更进一步我们可以将其中的a,b代换为一个整体,例如 + 仍然符合上述特征。

解:令A=( +m+ +n)-m-n= + -m-n

解得:m=- n=- ,即A= + +2≤- ×2 +2

当且仅当 = ,即x= y时,取得最大值2- .

二、通过分离常数转化为基本不等式

用基本不等式求代数式 + 的最值是我们非常熟悉的,形如 + 的代数式通过分离常数 + =2+( + )+1也能转化为基本不等式求解,这给我们提供了借鉴,令A= + ,x>0,y>0.

不妨将分母2x+y,x+2y分别看成一个整体,设两分式的分母2x+y=ax+2y=b (a>0,b>0),得x= y= ,代入分离常数、化简:

A= + = + =2-(ฬ + ),a>0,b>0.

由此我们将原问题转化为基本不等式的最值问题.

利用基本不等式得A≤2-2 =2- ,

当且仅当 = ,即b= a时取得最大值2- .

三、通ฌ过换元转化为函数的最值

此问题中有两个未知数,而且两未知数不存在等量关系,不能通♒过常规的“代入法”达到消元的目的。仔细观察代数式,我们注意到两个分式的分子、分母都是x,y一次关系式,利用分式的基本性质,将分子、分母同时除以คx(或y),则可化为关于 的函数。

由已知条件x,y是正实数,分子、分母同除以x得:

A= + = +

令 =t,t>0,代入化简得A= + = .

至此,我们将问题转化为求函数最值的问题.

由判别式法求得A≤2- 或A≥2+

∵t>0得A= + < +1

∴A≤2- ,当t= ,即x= 时y取得最大值2- .

四、回顾反思

布卢姆在《教育目标分类学》明确指出:数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。如果学生在掌握双基的同时,接受了数学思想,学会了数学方法,就能激发学习数学兴趣,提高分析问题和解决问题的能力,并为以后的数学学习打下坚实的基础。本例是从联想的角度,借助整体思想、换元等技巧实现转化。在面对一个陌生的问题时,学生往往不能马上找到解☭决之法,而是在直觉选择的基础上,通过联想、化归与构建的过程来确定解题的识别点。“遇新思陈、推陈出新、举一反三”就是要在当前问题与头脑中已有经验之间建立联系。无论在什么情况下都应该清醒地看到,所积累的知识和经验都是解决问题的根本,善于转化,很多问题都是可以迎刃而解的。


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