等比级数在幂级数与概率计算中的应用
等比级数,又称等比数列的前n项和,几何级数,多使用于台湾地区。等比级数公式:S=a+aq+aq^2++aq^=a/
摘要:等比级数是高等数学的教学重点之一,在函数的幂级数求和。函数以及概率的某些计算中起着重要的作用。介绍了利用等比级数求幂级数和函数以及概率计算的常见情形,并给出了具体的例子。
关键词:等比级数;概率计算;幂级数
等比级数虽然是一个重要级数,但笔者多年的教学发现,学生在直接应用级数时还可以,但应用到幂级数就不能把变量x看做常数,看不出两者关系。同时,在概率中涉及到很多计算,这其中有很多是跟等比级数有关,学生缺乏这种把知识融会贯通的能力;而在以往的教学中,有些教师对这个重视不够,而有的老师只是单独专注于自己的学科。基于这种情况下,笔者通过典型例题,阐述它们的关系,使学生达到活学活用。
ซ 等比级数又称为几何级数,
Symbole⌘B@ n=0aqn=a+aq+aq2++aqn+。
若q1,有limn
一、等比级数线性运算性质的直接应用
例1:把一个球从a米高下落到地平面上,球每次落下距离h碰到地平面再跳起距离rh,其中r是小于1的正数,求这个球上下的总距离。
解:总距离是 s=a+2ar+2ar2+2ar3+=a+2ar1-r=a1-r。
例2:把循环小数5.232323表示成两个整数之比。
=5+2310010.99=51899
例3:求级数
SymboleB@ )。
在收敛域内,有:
解:所求级数的和是幂级数
SymboleB@ n=1xn-1=11-xx,两边积分,得:
x0sdx=x011-xdx=-ln,即s-s=-ln。
又因s=0,所以s=-ln,故所求原级数的和为:
s=-ln=ln32
例7:已知某自动生产线一旦出现不合格品就立即进行调整,经过调整后生产出的产品为不合格品的概率是0.1,如果用X表示两次调整之间生产出的产品数,则求EX。
P{X=k}=P{调整后生产出的产品前k-1格为合格品,第k个为不合格品}
=P{A1Ak-1Ak},
其中Ai=第i个生产出的产品为合格品,Ai相互独立。
P=0.9,P{X=k}=0.9k-10.1
EX=SymboleB@ k=1xk)=0.1=0.12
综上所述,学生在应用☃等比级数时要能透过现象看本质,利用好这个级✫数,对我们求幂函数的和以及好多概率计算起到非常重要的作用。
参考文献: