高中数学变形技巧在函数恒成立问题中的应用

高中数学变形技巧在函数恒成立问题中的应用 变形技巧是数学解题的重要工具.高中学生运用变形技巧的能力制约和影响了他们解题技能的高低，也是他们解题速度快慢的体现.在解题过程中，条件不充分或者条件的表现形式较为隐蔽的情况经常出现，在这种情况之下，变形的♋意义就被充分地体现出来，通过变形技巧的运用，将题目中分散的元素集中起来，将问题从复杂的形式转化为简单的形式.是一种将复杂问题简单化的手段，是解决数学问题的重要途径.

一、三角恒等变换技巧

1.三角函数变换的理论基础.三角函数是一个重要的基本初等函数.它是联系几何与代数的桥梁，也是一种描述周期现象的重要数学模型，在数学和各个领域中的作用十分重要.三角函数作为高中数学教学的重要内容，是数学基础技能训练的基础，也是数学教学的重难点部分.在三角函数教学中，三角函数的解题技巧是十分丰富的.同样，三角函数中的解题复杂۵性也是相当高的.三角恒等变换在整个初等数学中是关键的解题工具，而且三角公式众多，方法灵活多变.学生若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不仅能加深对三角公式的记忆和理解，而且能提高自己的逻辑思维能力.

2.三角函數变换的具体方式.对于含同角的三角函数式，变换函数名法，是指利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式来进行变换，通过切割化弦切割互化正余互化等途径将所需变换的式子中函数的种类进行减少或统一.从数学教学实质上来看，这是归一思想的运用，有利于问题的解决或者发现解题的途径.例如，利用常用公式进行三角函数名称的变换，常见的万能公式有：sin=2tan（2）1+tan2（2）；cos=1-tan2（2）1+tan2（2）；tan=2tan（2）1-tan2（2）.将这三个公式的变换运用在三角恒等变换中，实现三角函数名称❣之间的变换，即可以解决很多三角函数问题.三角函数中函数名称的自由变化是三角函数的一个重要属性.在三角函数教学的初始过程中，学生即能掌握，但是在函数恒成立的证明问题上进行论证，学生则不能熟练运用这种方式进行解题.因此，帮助学生掌握变形技巧，对于学生证明函数恒成立的问题大有裨益.

二、二次函数恒成立变换技巧

1.二次函数恒成立变形技巧的理论基础.函数的变形没有固定的变形方法，其变形方法是多种多样的，但是在函数恒成立的证明过程中，通过对函数进行变形，往往具有事半功倍的作用.在函数恒成立中，一般会有两个变量，但是变量不影响函数成立问题.二次函数恒成立问题是高中数学中函数问题最重要的、也是最基本的工具之一.在函数恒成立问题中，许多问题本身就是可以转化为关于二次函数恒成立问题.因此，二次函数恒成立问题一直都是一个重点问题.同样，这一问题对于高中生来说也是一个难点问题.

2.二次函数恒成立的实证解析.将函数恒成立变为能成立命题，不仅能加深恒成立与能成立之间的联系，让学生了解这两种函数之间的区别与联系，也是实现数学教学中实践促进理论进步的重要内容.二次函数、 一元二次方程及一元二次不等式三者有着密切的联系， 一元二次不等式问题都能转化为二次函数或一元二次方程问题， 并借助二次函数的图象或一元二次方程的判别式解题.在求解二次函数时，通过将函数变形使参数与主元分离于等式的两端，实现函数求解的等式转℃化，这种方法本质还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.下面通过例题进行简单分析：f（x）g（a）（a为参数）恒成立，g（a）[f（x）]max；F（x）g（a）（a为参数）恒成立，g（a）[f（x）]min.通过函数恒成立的变形求证不等式的成立在方式上来看，相较于其他求证方式，是十分简捷的.此题中，函数恒成立问题的解决推导出不等式的成立，而解决不等式恒成立问题在近年高考试题中的比例在不断上升，解决不等式恒成立的方法之一就是构造适当的函数，利用相关函 ت数的性质和特点来简化证明问题，而对函数进行变形，确定合适的变量和参数，正确地揭示出隐性的函数关系，则是解题的关键.

总之，函数恒成立在数学教学中意义重大.在数学教学中，教师要加入有关变形技巧的思想，以实现函数恒成立化复杂为简单.