素数极限问题探讨

【关键词】素数；自然数；因数

素数即只能被1和它自身整除的自然数.随着自然数的不断增大，素数的个数也在不断增多，就意味着因数的不断增加.自然数的不断增大和因数的增多就意味着素数的个数就可能要减少，那么当自然数大到某个数后，是否就没有素数了，就是说素数是否有尾呢？借助计算机对素数个数进行计算、统计、分析，显示出二者的变化关系趋势.

1.素数的算法

优化算法4：在计算机编程计算时可进一步优化计算工作量.首先，自然数n的末位数为偶数或5时则该数可以被2或5整除，故该自然数一定不是素数.在编程时可以只对末位数为除5以外的奇数进行素数判断，进一步减少需要进行素数判ญ断的自然数.其次，在算法3中因数i取值范围2～n，末位数为偶数或5的因数进行i×j=n的运算结果必然是末位数为偶数或5的自然数n，故对于需要进行判断的末位数为除5以外的奇数自然数n而言末位数为偶数或5的因数i一定不是自然数n的因数.在自然数n与因数i的整除运算判断素数是因数i的实际运算范围可以确定为3～n中末位数为除5以外的奇数，这样可以进一步减少计算机运算工作量.

2.计算结果分析

其次，再来看一下随着自然数的增加对应的素数总数增量关系.在图2的线性坐标系中显示的素数个数在每一亿自然数区间非线性减น少，具有渐近X轴趋势，似乎是一种无限接近而又不能到达X轴，因此在双对数坐标系中查看二者关系有什么变化趋势.图3显示了素数总数-自然数在双对数坐标系中非线性变化关系：自然数每增加一个数量级（10倍），小于这个自然数的所有素数总个数也增加若干倍，但素数增加倍数小于10（表1），且二者呈非线性关系增加（图3），由于二者关系曲线在Y=X曲线下方，显然素数增加的速度小于自然数，而且曲线呈下凸特征，没有渐近水平趋势，即素数总个数没有趋于某一上限趋势，也就是说素数总数将会随着自然数增加而无限增加下去.表1中自然数按10ห倍比例关系继续增加下去可以构成一组比例为10的等比正项级数数列.随着自然数的10倍关系增加素数总个数呈大于6倍的比例关系增加，而且随着自然数的增加，素数增加的倍数也在增大，且有渐近10的趋势（表1），当然其增❅加的比例关系上限不可能超过自然数增加的倍数10，即图3中素数曲线有接近Y=X曲线趋势但不会超越.

差值素数倍数大10倍而增加ร的倍数素数总数随自然数扩最大素数值素数总个数最大自然数

3.结论

【参考文献】

[ 1 ]魏贵民.高等数学[M].北京：地质出版社，1999.