开放的课堂,催生创新的火花

摘 要:创设开放的问题情境,从学生的“最近发展区”出发,为学生精心设置“跳一跳摸得到”的问题,引导学生经历发现、探究数学的真实过程,让学生在探究中发现一个个新结论,在发现中享受成功的快乐,在快乐中中激发创造的潜能,迸发出创新的火花。

关键词:开放;情境;探究;创新

中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-77114-004 -02

如何改革数学教学,培养学生创新能力,是对每一位数学教师的挑战.我以为,创设开放的课堂,打破传统课堂教学的“封闭性”应该是一个重要的途径。“开放性”课堂教学要求教师在课堂中要从尊重学生的学习个性出发,运用教育机智,巧妙引导,让学生在开放的课堂教学中,自觉主动地提出问题,多途径地解决问题,科学客观地总结规律,进而培养学生敢想、敢问、敢说、敢做的学习个性和新、异、奇的创新意识。因此,构建“开放性”数学教学情境,有利于培养学生的创新能力。那么,在新课程标准下的数学课堂中,如何做到教学的“开放”,从而起到培养学生的创新能力的作用?

苏教版高中数学选修2-1第47页习题2.4有这样一道题:已知直线l:y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A、B两点,求证:OA⊥OB.

【环节一】让学生自主解答.教师适当点拨.

S1:联立方程组,解方程组得出A、B坐标,求直线OA、OB斜率,证kOAkOB=-1;

S2:联立方程组,解方程组得出A、B坐标,求向量OA[X→-*4],OB[X→-*4]坐标,证OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0;

S3:联立方程组,解方程组得出A、B坐标,求AB、OA、OB长度,依据勾股定理的逆定理证垂直.

:一定要求A、B的坐标吗?

S4:联立方程组,消元,转化为一✈元二次方程,依据韦达定理,得出x1+x2,x1x2,再证kOAkOB=-1或OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0

小结:关于直线与圆锥曲线相交的问题,通常构建方程组,借助韦达定理整体代换.

【环节二】变换部分条件,提出新问题,催生新发现.

:能否改变直线l的位置,仍满足OA⊥OB?

S5:若直线l的方程是x=2,也可以保证:OA⊥OB.

:你何以发现此直线的?

S5:由于抛物线是关于x轴的轴对称图形,因此只要自原点引两条直线OA、OB使其倾斜角分别为45°和135°,就可以保证OA⊥OB,而此时的直线AB的方程是x=2.

:你的想法真有创意.

S6:按照S5这种思路,我也可以找到一条直线l,令OA的倾斜角是60°,OB的倾斜角是150°,

可以得到直线AB的方程是:y=32x+3

S7:令OA的倾斜角是30°,OB的倾斜角是120°,不正好和S6的直线是对称的吗,很显然此时直线AB的方程是:y=

:也就是说,只要给出OA、OB的适当的倾斜角使OA⊥OB,就能找到这样一条直线l,观察上述的几条直线,能有什么发现吗?

S8:所有的满足OA⊥OB的直线l都相交于x轴ผ上一点.

:能不能推广到一般情况?

S9:直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,若满足OA⊥OB,则直线l必过定点.

✞【环节三】引导证明,体验数学的严谨,培养推理论证能力.

:能给出一般性的证明吗?

S10:设OA方程为y=kx,与y2=2px联立方程组,得A,同理,得B,从而得到AB的方程为:y+2pk=k1-k2.易证直线AB过点.

:反思:若直线l过点,且与抛物线y2=2px交于A、B两点,则能推出OA⊥OB吗?

S11:若直线l垂直于x轴,易得A,B,显然OA⊥OB;

若直线l不垂直于x轴,不妨设A、B,直线l的方程为y=k,与y2=2px联立,并消元,得k2x2-x+4k2p2=0,于♒是OA[X→-*4]OB[X→-*4]=

x1x2+y1y2

=x1x2+k2

=x1x2-2pk2+4p2k2

=4p2-2pk2+4p2k2

=0

所有OA⊥OB.

【环节四】引导类比,合情推理,将结论向一般化推演.

:是否可以猜想:将条件“OA⊥OB”进一步一般化,改为∠AOB®=60°,也能得到直线l过定点?

S12:如果过定点,可否尝试用特殊化的方法先找到定点?

:如何实施?

S12:若让OA、OB的倾斜角分别是30°和150°,则不难得出AB的方程为x=6p.根据对称性,若直线AB过定点,则不妨再取两组,则它们的交点应该在点,比如:直线0A的倾斜角是15°,直线OB的倾斜角是135°,……经过计算,发现它们并不交于一点.

为了验证S12的说法,.我用投影展示了S12的演算过程,发现确实不过定点,同时我又通过几何画板进行了演示,证明此时直线l确实不过定点.到此,问题的研究似乎可以告一段落了,但是我感到学生的脸上明显地流露出疑惑,于是我就进一步抛出了疑问手.

:∠AOB=45°呢?

【环节五】进一步探究深层次原因,得出一般性结论.

:为什么∠AOB=90°时直线l过定点,而改变了∠AOB大小,就不过定点了呢?其根本的原因在什么地方呢?

:如果将∠AOB=90°改变一种表达形式,如何表述呢?

S13:∠AOB=90°等价于OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0,假如把OA[X→-*4]OB[X→-*4]=0改成OA[X→-*4]OB[X→-*4]=-1,不知道是否能保证直线l过定点.

:很好的视角,大家不妨试一试.

S14:若直线l垂直与x轴,可设直线l的方程是:x=m,则A,B,于是OA[X→-*4]OB[X→-*4]=m2-2pm=-1,得m=p±p2-1

若直线l不垂直于x轴,可设A、B,直线l的方程为y=kx+b与抛物线联立方程组,并消元,得k2x2+x+b2=0,于是