数学学习法子 的摸索

内容提要：本文偏重论述了中学数学素质教学中数学学习法子 的摸索从数学教学的角度、数学本身的角度、数学学习的角度、数学内容的性质角度等四个方面如何实行数学学习法子 的领导谈谈自己的认识。

要害词：数学 学法 角度 摸索

近几年来，旨在教会学生会学习、进步学生自学能力 的学法领导的钻研和实践已是根基教导革新的一个热门 课题。这一课题的提出和钻研，不仅对当前进步根基教导质量、实行素质教导具有现实意义，而且对培植未来社会发展所需要 的人才、增进科教兴国具有历史意义。随着社会、经济、科技的高速发展，数学的利用越来越广，地位 越来越高，作用越来越大。不仅如此，数学教导的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的进步具有庞大的影响。因此，进步根基教导中的数学教学质量，就显得尤为首要。可目前由于受“应试教导 ”的影响，数学教学中违抗教导规律的现象和做法时有产生，为此更新数学教学思想、完善 数学教学法子 就显得更加急迫。在数学教学中，开展学法领导，正是革新数学教学的一个突破口。

一、对数学教学如何实行数学学习法子 的领导，人们进行了许多有益的摸索和实验 。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒惰，不肯动脑；不订企图 ，惯性运转；漠视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；逝世记硬背，机械模仿 ；不懂不问，一知半解；不重根基，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，鄙弃复习 ”等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法领导的道路和法子 ，如数学全程渗透式（将学法领导渗透于制定企图 、课前预习、课堂学习、课后复习 、独立作业、学习总结、课外学习等各个学习环节之中）；建立 数学学习惯例（课堂惯例 ———情境美，参与高，求精彩，求效率 ；课后惯例 ———认真读书，收拾笔记，沉思熟虑，勇于质疑；作业惯例 —&mdas✡h;—先复习 ，后作业，字迹明确，表述规范，盘算正确 ，填好《作业检测表》，重做错题）等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、进步学业成绩 、优化学习品德，采劝对症下药”的策略，开展对学习惯例的领导，无疑会收到较好的效果 。但是，数学学习法子 的领导，决不能漠视数学所特有的学习法子 的领导。可以说，这才是数学学法领导之内核和要害 。也就是说，数学学法领导该当偏重领导学生学会了解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交换、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者首要从“数学”、“数学学习”起程，来阐释数学学习法子 ，论述 数学学法领导。

二、从数学的角度起程，就是要考查。关数学的特性于数学的特性，虽仍有争议，但传统或者说对比科学的提法仍是３条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和利用的广泛 性。

１．数学钻研的对象原本是现实的，但由于数学仅从空间情势与数量关系方面来反响客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维情势（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开对比和分类，可以说对比、分类、概括是抽象的根基和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动 速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、产品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金属加热引起的长度变更ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，显然要经过对比（它们的异同）和概括（它们的共同特点）。根据 数学高度抽象性的特性，数学学法领导要强调对比、分类、概括、抽象等思维法子 的领导。

２．数学结论的可靠性有其严峻的请求，观察和实验 不能作为论证的根据和法子 ，而是要经过逻辑推理（表现 为证明或盘算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为１８０°”这个结论，通过测量的法子 是不能确立的，唯有在欧氏几何系统中经过数学证明才干确定其正确 性（断定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的盘算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学钻研都离不开证明和盘算，证明和盘算是极其首要的数学运动，而通常所说的“数学思想法子 往往是数学中证明和盘算的法子 。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或盘算的具体法子 。从这一点上来说，证明或盘算是任何一种数学思想法子 的组成部分，又是任何一种数学思想法子 的目标 和表述情势 ”。又由于证明和盘算首要依赖的是归纳与演绎、分析 与综合，所以根据 数学逻辑的严谨性特性，数学学法领导要器重归纳法、演绎法、分析 法、综合法的领导。

３．由于任何客观对象都有其空间情势和数量关系，因而从理论上说以空间情势与数量关系为钻研€对象的数学可以利用于客观世界的一切领域 ，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之ข巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。利用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确 的语言加以表述，而且要建立 数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学效果进行检验和评价。也就是说，数学之利用，它不仅表现 为一种工具，一种语言，而且是一种法子 ，是一种思维模式。根据 数学利用的广泛 性特性，数学学法领导还要领导学生建立 和操作数学模型，以及进行检验和评价。

三从数学学习的角度起程，就是要通过对数学学习历程的考查，引申出数学学法领导的内容和策略。关于数学学习的历程，对比新鲜的观点是：“在原有行径结构 与认知结构 的根基上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构 的转变（顺应），于是形成新的行©径结构 与认知结构 ，如此不断往复，直达到成相对的适应性平衡”。通过对这一认识的分析 和了解，就数学学法领导而言，可概括出以下３点：

１．行径结构 既是学习新知的目标和效果，又是学习新知的根基，因而在数学教学中亦需重视外部行径结构 形成的领导。由于这种外部行径首要包孕外部实物操作和外部符号（首要是语言）运动，所以在数学学法领导中，一要器重学具的操作（可请求学生尽可能多地制作 学具，操作学具）；二要器重学生的言语表达（给学生尽可能多地供给言语交换的时机，可以是教师与学生间的交换，也可以是学生与学生之间的交换）。

２．认知结构 同样既是学习新知的目标和效果， 也是学习新知的根基，故而数学教学要加强 数学认知结构 形成的领导。所谓数学认知结构 ，是指学生脑子中的知识结构 按自己的了解深度、广度，联合自己的感到、知觉、记忆、思维等认知特性，组合成的一个具有内部规律的整体结构 。因此，对于学生形成数学认知结构 的领导，要害在于不断地进步所浮现的数学知识和经验的结构 化程度 。在数学学法领导中，须注意如下几点：①加强 数学知识间接洽的教学。无论是新知识的引入和了解，还是巩固和利用，尤其是知识的复习 和收拾，都要从知识间的接洽起程。②器重数学思想的发掘和渗透。由于数学思想是对数学的本色的认识，因而数学思想是数学知识结构 建立 的根基。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形联合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③重视数学法子 的明晰教学。数学法子 作为解决问题的手法，是建立 数学知识结构 的桥梁。常见的数学法子 有：化归法、结构法、参数法、变换法、换元法、配法子 、反证法、数学归纳法等。

３．在原有行径结构 与认知结构 的根基上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须 是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机制首要就是对学习新知历程的监控和调节，即所谓的元学习。本色上，能否会学，要害就在于这种学习是否建立 起来。于是，元学习的领导又成为数学法子 领导的首要内容。为此，在数学学法领导中，需要 注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学运动法子 的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技术的利用背景和条件的概括，如控制换元法的具体步骤，获得换元技术，了解在什么条件下利用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生领会 影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料 的浮现法子 是文字的、字母的，还是图形的；学习任务 是盘算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料 和学习任务 方面的因素，都对数学学习产生 影响。③要充沛揭示数学思维的历程。比如，揭示知识的形成历程、思路的产生 历程、尝试摸索历程和偏差纠正 历程。④赞助 学生进行自我诊断，明确 其自身数学学习的特点。比如：有的学生长于代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而了解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤领导学生对学习运动进行评价。如评价问题了解的正确 性、学习企图 的可行性、解题程序的简捷性、解题法子 的有效性等诸多方面。⑥赞助 学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知历程意识和调节认知策略意识等等。

四根据 数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（首要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习 等５类。相应地，数学学法领导的实行亦需分辨 落实到这５类教学之中。这里仅就例题教学中如何实行数学学法领导谈谈自己的认识。

１．根据 学生的学情布置例题。如前所述，学习新知必须 建立 在已有的根基之上，从内容上讲，这个根基既包孕知识根基，又包孕认知程度和认知能力 ，还包孕学习兴趣 、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统 方面的筹办。因此，无论是选配例题，还是布置例题，都要考虑 到学生的学习情况 ，尤其是要考虑 激发学生认知兴趣 和认知需求的原则（称之为动机原则）。在例题选配和布置中，可采纳增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。所谓增，即根据 学生的认知缺点增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。所谓删，即根据 学生情况 ，删去对比简略的例题或请求过高½的难题。所谓调，即根据 学生的实际程度，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。

２．根据 学习目标 和任务 精选例题。例题的作用是多方面的，最根基的莫过于了解知识，利用知识，巩固知识；莫过于训练数学技术，培植数学能力 ，发展数学观念。为施展例题的这些根基作用，就要根据 学习目标 和任务 选配例题。具体的策略是：增、删、并。这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技术、某种数学能力 等重点内容而增补强化性例题，或者根据 接洽社会发展的需要 ，增加补充 性例题。这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的接洽打破单元界限 而把不同内容的例题综合在一起。

３．根据 解题的心理历程设计例题教学程序。遵守波利亚的解题理论，一般把解题历程分为弄清问题、拟定企图 、实现企图 、回首等４个阶段。这是针对解题历程本身而言的。但就解题教学来说，还该当增加一个步骤，也是重要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生 一种认知的需要 。对于“进入问题情境”环节，请求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标 ，明确 学习任务 ，激起认知冲突。而对其余４个环节，教师的行径可按波利亚的“怎样解题表”中的请求去构思。一般教师和学生都能够注意做到做好前３个环节，却容易漠视“回首”环节。严峻说来，回首环节对解题能力 的进步，对例题教学目标的实现起着不可替代的作用。对回首环节来讲，除波利亚提出的几条以外，更为首要的是对解题法子 的概括和反思，并使其能迁移到其它问题的解决之中。

４．根据 数学法子 领导的目标和内容适度调剂例题。通常，人们根据 问题的条件（Ａ）、解决的历程（Ｂ）及问题的结论（Ｃ）的情况 把数学题划分为标准 题和非标准 题两大类：如果条件和结论都明确 ，学生也熟知解题历程 （即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），这种题为标准 题（记为ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中短缺一个或两个要素的题则为非标准 题。如果分辨 用Ｘ、Ｙ、Ｚ表现对应于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，则非标准 题的题型（计６种）可表现为：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。数学教材中的例题大多数是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和极少数的ＡＹＺ型。由于数学学法领导的一项首要任务 是教学生会抽象、概括、归纳、演绎，会数学地思考和交换，会分析 问题和解决问题，因而例题教学要特别 重视教材中短缺的几种类型题的教学。其中最为首要的是“开放性题”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例题中，Ｚ不唯一）和“数学问题解决”中所指出的“数学利用题”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主题是数学以外的内容）。对于“开放性题”，由于它的结论不唯一，对培植学生数学思维有着至关首要的作用。对于“数学利用题”，则由于它的解决要用数学模型法，因而对培植学生运用 分析 问题和解决问题的法子 是十分首要的。从数学学法领导的角度来说，适度调剂例题很有必要。调剂的策略有二：一是改，即将已有的题型变换为别的题型；二是增，即增加与知识点有关的“开放性题”和“数学利用题”。

５．重视对例题的全方位反思。例题的作用是多方面的，除上文提到的几点外，例题教学还具有传授新知识，积累 数学经验，完善 数学认知结构

参考文献：

1、曲培富《数学教学中“教为主导、学为主体”的认识与实践》（《中学数学杂志》1993年第1期）

2、肖柏荣《数学教导设计的艺术》（《数学通报》 1996年10月）

3、冯克诚《中学数学钻研：3+x中学成功 学法系统》（内蒙古出版社，2000年9月）

4、皮连生《学与教的心理学》（华东师范大学出版社 1997年）