高职高专《高等数学》课程不定积分的概念教学过程设计

高职高专《高等数学》课程的教学内容是本着必需、够用的原则来进行设置的，所以教师在进行教学时，应根据学生的实际情况，用通俗易懂的教学语言、循序渐进的教学方式去向学生讲解教学内容。以下℉给出的是不定积分的概念的教学过程设计。

老师先根据前面所学习的导数与微分的相关知识，提出如下两个问题：

1、（sinx）'=cosx，cosx是sinx的导函数，那么sinx是cosx的什么函数？

2、（x2）'=2x ，2x是x2的导函数，那么x2是2x的什么函数？

在同学们思考、讨论交流之后，老师给出原函数的定义：

设f（x）是定义在某区间I上的已知函数，若存在函数F（x），使得F'（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数。

根据以上定义，老师前面提出的两个问题同学们可以很容易地解答出来了。

因为（sinx）'=cosx，所以sinx是cosx的一个原函数；

因为（x2）'=2x，所以x2是2x的一个原函数。

接⌘下来，老师乘势又提出如下问题：

（sinx+1）=cosx、（sinx-） '=cosx 、（sinx+） '=cosx ……，c✘os¡x的原函数唯一吗？

（x2+2）'=2x、 （x2-）'=2x 、（x2+）'=2x ……，2x的原函数唯一吗？

在老师的启发和引导下，同学们经过思考，发现以上两个函数和的原函数不唯一的，而是各有无穷多个。那么它们的全体原函数用数学术语怎么说？又用什么样的数学符号表示呢？

老师给出如下定义：

若F（x）是f（x）在某区间I上的一个原函数，则F（x）+C叫做f（x）在该区间上的不定积分，记为∫f（x☠）dx，即∫f（x）dx=F（x）+C，其中“∫”称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数.

上面两例可写成 ：∫cosxdx=sin+C、∫2xdx=x2+C 。

此时老师如果能够给出对不定积分的一个直观描述，那么同学们就会对不定积分的定义有更深刻的理解了，这就是老师对不定积分的几何意义的讲解。

函数f（x）的每一个原函数F（x）的图像为平面上的一条曲线，称为f（x）的积分曲线，而不定积分∫f（x）dx即F（x）+C的图像代表的全部积分曲线，称为f（x）的积分曲线族，其中任一条曲线都可由另一条积分曲线沿y轴方向上下平移而得，这就是不定积分的几何意义.

例如∫2xdx=x2+C表示的就是以y轴为对称轴的抛物线族，其中的一条抛物线是以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴的抛物线，它表示y=2x的的一条积分曲线y=x2。

最后，老师讲解几个求不定积分的例题，让同学们进一步加深对不定积分定义的理解。在讲解这些例题之前，老师先给同学们分析：更多的函数的不定积分是不能直接写出结果的，而要把基本积分公式作为必备工具。

例1 求下列不定积分：

解

（1）先把被积函数化为幂函数形式，再利用基本积分公式，得

∫dx=∫xdx=+C=+C .

（2）先把被积函数整理化为指数函数形式，再利用基本积分公式，得

∫3Xexdx=∫（3e）xdx=+C=+C.

例2 求下列不定积分：

解

（1）∫（+1）（x-）dx=∫（x+x-1-）dx

例3 求下列不定积分：

（2） ∫sin2dx=∫dx=x-sinx+c。

在讲解完以上例题之后，老师再布置适量适当的练习题给同学们做，从而让同学们掌握不定积分的概念这部分教学内容。