“问题”引领“探索”

内容摘要：《直线与平面垂直的判定》是高中数学北师大版必修2第一章第六节第一讲内容，以学生已学过过得平行关系和线线垂直作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面垂直的定义和判定定理.教学设计力图构造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、实现共同探究、教学相长，让学生亲身经历教学研究的过程，体验探索的乐趣，享受解题成功的喜悦，增强学习数学的兴趣.

关键词：教学设计 直线 平面 垂直

一、教材地位分析

垂直关系是一种非常重要的空间位置关系，它不仅应用较多而且是平行关系的转化手段，可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，本节课是第6节“垂直关系”的第一课时，在学生学了三大平行关系之后，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程的一个再强化，对学生数学表达与交流能力（文字语言、符号语言、图形语言转换）、空间想象能力与推理论证能力的再提高，对学生化归与转化思想的一次再升华.

二、教学建议

1.直线与平面垂直的教学，遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程.让学生自己动手，结合几何多媒体演示，在此基础上引导学生观察、体会，逐渐抽象出直线与平面垂直的数学定义及判定方法；

2.采用启发式和探究式教学方法，以问题驱动为主线，激发学生参与学习的积极性和主动性；

3.通过学生经历直观感知、确认操作的过程构建新的知识，在通过例题讲解、解决实际问题使新知得以应用.

三、教学目标

1.知识与技能：

（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，并能进行简单应用.

（2）能准确使用数学符号语言、图形语言、文字语言进行表达判定定理.

2.过程与方法：

在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作 シ中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力；渗透化归与转化的数学思想方法.

3.情感、态度与价值观：

垂直ซ关系在日常生活中有广泛实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用.并让学生经历研究过程、体验探索乐趣，增强学习兴趣.

四、教学重、难点

重点：线面垂直判定的理解和应用；

难点：线面垂直定义和判定的探索和理解.

五、教学过程设计

（一）课题引入

师：前面我们学习了线线、线面、面面的平行关系，今天我们要学习另外一类非常重要的位置关系――垂直.

师：垂直关系发生在那些对象之间？

生：线线垂直，线面垂直，面面垂直.

师：线线垂直我们已经学过，这节课我们先来学习线面垂直.（书写课题）

师：同学们能谈谈你在生活中见到的线面垂直的例子吗？

生：旗杆与操场，白杨树与地面…

师：生活中这样的情景随处可见，（多媒体展示一些图片）比如：操场飘扬的红旗，旗杆与地面.平坦的大地，一个水平的面；矗立旗杆，一条竖直的线，给人一种挺拔、平稳、向上的感觉.这给我们展示了一种“几何美”――直线垂直于平面.

师：那么如何检验旗杆是否垂直地面？

这就是本节课要解决的问题.

设计意图：通过创设情境，让学生直พ观感知“线面垂直”，并结合实际提出问题让学生明白本节课学习的目标，利于激发学生的求知欲.

（二）新课讲解

【探究一】：一条直线相对于一个平面具备怎样的条件，可称直线与平面垂直？

师：线面垂直，可以转化为我们学过的线线垂直.

可以借助我们生活中熟悉的例子，如旗杆与地面.

学生看图回答下列问题：设旗杆为AB，旗杆在地面的影子为BC.

（1） 阳光下AB与BC所成角是多少度？

（2） 随着光线的变化BC的位置也发生变化，那么AB与BC所成角度是否发生变化？

（3） AB与平面内任意一条不过点B的直线是否垂直？依据是什么？

生：（1） ；（2）不变；（3）垂直，直线经过平移多可以过B点.

生：（概括）一条直线和平面所有直线都垂直，可称这条直线与这个平面垂直.

教师板书：

（1）定义：若一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。记作：a⊥面α（作图略）

设计意图：利用学生已有的知识基础、生活经验，通过实例“旗杆和变动的影子的关系”，在问题的引导下，让学生认识“旗杆和地面上任何一条直线都垂直”之后，得出直线ฏ与平面垂直的定义，从具体到抽象符合学生认知规律。

师：定义实际上给我们提供了一个判定线面垂直的方法，但是却不便操作，我们要寻找更简便的判定方法。

【探究二】：（1）直线垂直平面内一条直线，能否得到线面垂直？

（2）直线垂直平面内两条平行直线，能否得到线面垂直？

（3）直线垂直平面内三条、四条…无数条平行直线，能否得到线面垂直？

生：用准备好的三角尺与桌面比划来验证.答案都是否定的.

师：换个思路，平面中除了有平行线直线还有互相垂直的直线.

【探究三】：直线垂直平面内两条相交直线，能否得到线面垂直？

生：能，比如在长方体中！

师：作图引导学生观察：

生：答案是肯定的.

设计意图：以 ☺长方体的同一顶点出发的三条棱为例，为判定定理埋下伏笔，让学生观察，实践，让学生参与到教学活动的全过程来，体现学生的主体性，培养学生自主探究学习的能力。 【探究四】如果直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直吗？

师：大家动手实践一下，看看这是偶然还是必然？

学生活动：拿出事先准备好的三角形纸片.过某个顶点任意对折三角形，以对折后产生的折线为研究对象（研究对象“直线”），然后将三角形放在桌面上（桌面视作研究对象“面”）观察线与面的位置情况.

师：怎样对折后才能让直线垂直于面呢？

学生活动：带着极大的热情，学生们动手实践，最终发现，只有当折线垂直于底边时才能实现线面垂直，而此时正是线与面内的两条相交直线垂直.

在此基础上，教师带领学生进行抽象、简化建立数学模型，得出直线与平面垂直的判定定理.

教师板书判定定理的三种表述：文字语言、图形语言、符号语言.（略）

教师分析定理：三个条件：（1）若a 面α，b 面α；（2）直线l⊥b；（3）a∩b=P.缺一不可.

设计意图：设置这样动手实践的情境，是希望学生学在情境中、思在情理中，感悟在心中.同时培养学生观察猜想的能力，让学生体会真理的科学性和严密性.

（三）定理应用

例1. 有一根旗杆AB高位8m.顶端A处挂着两条长10m的绳子，在距B6m的M处测得绳长为10米，N处测得绳长为9米。

（1） 旗杆栽的合格吗？

（2） 若在N处也测得绳长为10m，栽的合格吗？

（3） 要你设计一个方案如何检测旗杆是否栽的合格。

设计意图：例1应用判定定理解决实际问题，既是对定理的巩固同时也解决课前提出的问题，形成首尾呼应.

例2.已知 平行在平面α内，点O是 对角线的交点，点P在平面α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO⊥面α.

例3.RtΔABC中，∠B=90°，P是ΔABC所在平面外一点，RA⊥面ABC.

（1） 求证：BC⊥面PAB；

（2） 四面体P-ABC中有几个直角三角形。

设计意图：例2让学生在学完判定定理后，能简单应用定理进行证明。通过例3让学生体会线面垂直与线线垂直的转化.

课堂小结：

1. 直线和平面垂直是直线和平面相交的特殊情况；

2. 判定直线与平面是否垂直，有两种方法：

（1） 定义法；

（2） 判定定理。

教学反思：

本节课的设计遵循“直观感受――操作确认――思辨论证”的认知过程，很好贯穿了问题引领学习的意识.学生亲自动手实践过程，有利于培养学生勇于探索、团结合作的精神，以及推理论证的能力、数学表达能力和空间想象力，让学生学身边的数学、领悟空间观念和空间图形性质.

参考文献

[1]《中学数学教学设计》何小亚、姚静

[2]《中学数学解题的理论与实践》罗增儒

[3]《中学数学教学艺术》王国江