机械能守恒定律的解题思路

应用机械能守恒定律解题的基本步骤：①根据题意，选取研究对象；②明确研究对象在运动过程中受力情况，并弄清各力做功情况，分析是否满足机械能守恒的条件；③恰当地选取重力势能的零势能参考面，确定研究对象在过程的始、末状态机械能转化情况；④应用机械能守恒定律列方程、求解.

[ 初末状态法]

例1 一根均匀铁链全长为[L]，其中[58]平放在光滑水平桌面上，其余[38]悬垂于桌边，如图1所示，如果由图示位置无初速释放铁链，则当铁链刚挂直时速度多大？

图1

思路 以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力[G]和光滑水平桌面的支持力[N]、在铁链运动过程中，[N]与运动速度[v]垂直，[N]不做功，只有重力[G]做功，因此系统机械能守恒.铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算.选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解.

解析 初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能[Ep1=58mg?L].悬吊在桌边部分的重力势能

所以[v✯=5564gL=55gL8.]

点拨 本题也可从线性变力求平均力做功的角度，应用动能定理求解，或应用[F-h]图线揭示的功能关系求解.

[ 临界条件法]

例2 如图2所示，长l的细绳一端系质量m的小球，另一端固定于O点，细绳所能承受拉力的最大值是7mg.现将小球拉至水平并由静止释放，又知图中O′点有一小✪钉，为使小球可绕O′点做竖直面内的圆周运动. 试求OO′的长度d与θ的关系（设绳与小钉O′相互作用中无能量损失）.

图2

思路 本题所涉及问题层面较多.除涉及机械能守恒定律之外，还涉及圆周运动向心力公式.另外还应特别注意两个临界条件：①要保证小球能绕[O′]完成圆周运动，圆周半径就不得太长，即[OO′]不得太短；②要保证细绳不会被拉断，圆周半径又不能太短，也就是[OO′]不能太长.本题的研究中应以两个特殊点即最高点[D]和最低点[C]入手，依上述两临界条件，按机械能守恒和圆运动向心力公式列方程求解.

解析 设小球能绕[O′]点做完整的圆周运动，如图2所示.其最高点为[D]，最低点为[C].对于[D]点，由向心力公式，有

[F向D=mvD2r=mvD2l-d≥mg]

其中[vD]为[D]点速度，可由机械能守恒定律，取[O]点为重力势能的零势能位置，则

[=mg（dcosθ-l+d）]

由以上两式，解得

[d≥3l3+2cosθ].

另依题意细绳上能承受的最大拉力不能超过[7mg]，由于在最低点[C]，绳所受拉力最大，以[C]点为研究对象，有

[Tmax-mg=6mg≥mvC2l-d]

其中[vC]是[C]点速度，由机械能守恒定律，有

由以上两式，解得[d≤2l2+cosθ]

故[OO]的长度[d]应满足[3l3+2cosθ≤d≤2l2+cosθ.]

点拨 本题小球在圆运动中，由于绳的拉力与运动方向相互垂直不做功，只有重力做功，故น机械能守恒.求解竖直面内的圆周运动问题是机械能守恒定律的重要应用之一，并由此可以推导出一些有价值的结论.如从光滑斜面滑下的小球，进入半径为[R]的竖直光滑的圆环，为使之能做完整的圆周运动，其下滑时高度[h]应大于或等于[52R]；再如小球在细绳作用下在竖直面内做圆周运动，在最低点和最高点，绳上拉力的差等于[6mg].

[ 系统守恒法]

例3 如图3所示，半径为[r]，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴[O]，在盘的右边缘固定有一个质量为[m]的小球[A]，在[O]点正下方离[O]点[r2]处固定一个质量也为[m]的小球[B]，放开盘让其自由转动.问：

图3

（1）当[A]转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

（2）[A]球转到最低点时的线速度是多少？

（3）在转动过程中半径[OA]向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

思路 两小球重力势能之和的减少，可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算.由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒定律，可列式算出[A]球的线速度和半径[OA]的最大偏角.

解析 （1）以通过转轴[O]的水平面为零势能面，开始时两球重力势能之和为

当[A]球转至最低点时两球重力势能之和为

[Ep2=EpA+EpB=-mgr+0=-mgr] 故两球重力势能之和减少了

（2）由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加. 设[A]球转至最低点，[A、B]两球的线速度分别为[vA，vB]，则

因[A、B]两球固定在同一圆盘上，转动过程中的角速度[ω]相同.由[vA=ωr，vB=ω?r2]，有[vA=2vB]，代入上式，得

所以☿[vA=45gr].

（3）设半径[OA]向左偏离竖直线的最大角度为[θ]，如图4所示，♒该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为

图4

[E3=Ep3=mg?r2?sinθ-mgrcosθ]

由系统机械能守恒定律[E1=E3]，有

即[2cosθ=1+sinθ]

所以[5sin2θ+2sinθ-3=0]

即[sinθ=35]（舍去负根）

得[θ=arcsin35=37°.]

[ 过程分析法]

图5

（1）弹簧能够具有的最大弹性势能；

（2）[B]物体的最大速度.

思路 由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析：一、子弹击中物体[A]的瞬间，在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小，且弹簧对[A]的作用力远远小于子弹与[A]之间的相互作用力，因此可认为由子弹与[A]物体组成的系统动量守恒，但机械能不守恒（属完全非弹性碰撞）.二、弹簧压缩阶段，子弹留在木块[A]内，它们以同一速度向右运动，使弹簧不断被压缩.在这一压缩过程中，[A]在弹力作用下做减速运动，[B]在弹力作用下做加速运动.[A]的速度逐渐减小，[B]的速度逐渐增大，但[vA>vB].当[vA=vB]时，弹簧的压缩量达最大值，弹性势能也达到最大值.以后随着[B]的加速，[A]的减速，有[vAvA]，且[vB]不断增大而[vA]不断减小，当弹簧恢复到原来长度时，弹力为零，[A]与[B]的加速度也刚好为零，此时[B]的速度将达到最大值，而[A]的速度为最小值.

根据以上三个阶段的分析，解题时可以不必去细致研究[A、B]的具体过程，而只要抓住几个特殊状态即可.同时由于[A、B]受力均为变力，所以无法应用牛顿第二定律，而只能从功能关系的角度，借助机械能转化与守恒定律求解.

解析 （1）子弹击中木块[A]，系统动量守恒，由

[mv0=（M+m）v1]，有[v1]=[mv0M+m=]9m/s

弹簧压缩过程，由子弹、[A、B]组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒.选取子弹与[A]一起以[v1]速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为[Epm]，此时子弹、[A、B]有共同速度[v共]，则有

代入数据，解得[v共]=5m/s，[Epm]=2.25J.

（2）弹簧恢复原长时，[vB]最大，取子弹和[A]一起以[v1]速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有

[（M+m）v1=（M+m）vA+MvBm]

代入数据可解得[B]物体的最大速度[vBm]=10m/s.

点拨 本题综合了动量守恒与机械能守恒定律的应用. [A、B]运动过程中受变力作用，除不断进行动能与弹性势能的相互转化外，还始终遵循系统动量守恒.选取特殊状态，建立两个守恒方程是解决本题的关键.