抛物线中的最值问题

圆锥曲线的最值是一©类综合性强、涉及知识广的问题.破解这类问题常利用函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想与方法，将它转化为解不等式、求函数的值域或利用平面几何知识来解决.本文对抛物线中常见的几类最值分类探究.

点与点、点与线之距离的最值问题

当[k2=1]即[k=±1]时，

法2 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.

又直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，

由抛物线的定义得，

以下略.

点拨 一般地，设[Ma，b]是不在抛物线的[y2=2pxp>0]上的定点，过点[M]作抛物线的两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB?CD]的最小值. （留与同学们解答）

三角形、四边形等多边形之面积的最值问题

例3 过抛物线[y2=2pxp>0]的顶点[O]引两条互相垂直的动弦[OA]和[OB]，求三角形[AOB]的面积的最小值.

法1 直线[OA]和[OB]的斜率均存在且不为零.设直线[OA]的方程为[y=kx]，

则直线[OB]的方程为[y=-1kx].

联立[y=kx，y2=2px]得[A2pk2，2pk]，同理得[B2pk2，-2pk].

所以[SΔAOB=12OA?OB]

因此[SΔAOBmin=4p2].

点拨 ヅ 一般地，设[Pa，b]是抛物线上的一定点，过点[P]作抛物线[y2=2pxp>0]的两条互相垂直的动弦[PA]和[PB]，求三角形[APB]的面积的最小值. （留与同学们解答）

弦长为定值之动弦中点到准线距离的最值问题

例4 定长为[l]（[l>0]）的线段[AB]的两端点在抛物线[y2=2pxp>0]上移动，求线段[AB]的中点[M]到✄[y]的最短距离.

法1 由题意知，直线[AB]的斜率一定不为零.

故可设直线[AB]的方程为[x=ty+ภm].

联立[x=ty+m，y2=2px]消去[x]得，[y2-2pty-2pm=0].

则[Δ=4ppt2+2m>0].

又[AB=l].

线段[AB]的中点[M]到[y]的距离

设[μ=t2+1]，由[t∈R]知，[μ≥1].

[∴d=p2l2p2μ+μ-1].

若[0