高中数学最值问题解法探讨
[摘要]最值问题是一类特殊的数学问题,是历年高考重点考查的知识点之
一.以高中数学中的一个最值问题为载体,从均值不等式、函数、数形结合三个角度阐述解决最值问题的基本策略.
[关键词]最值问题函数 不等式几何
ฃ在高三复习中,学生经常为一些最值问⌛题而头疼,掌握的情况也不够理想.本文通过对一道典型的例题的多解探析及拓展,以期培养学生思维的灵活性.
,求a+b+a2+b2的最小值.
分析:将目标函数适当转化是求解最值问题的基本策略.根据该问题的已知条件和目标函数的特点,求a+b+a2+b2的最小值有如下的方法.
方法一:将目标函数线性化,运用均值不等式求最值
将a2+b2转化为一次形 ヅ式的途径有很多,这里使用不等式“a2+b2≥asinθ+bcosθ(a0,b0)”来线性化,该不等式简证如下.
证明:若asinθ+bcosθ 0,b>0).
,解得tanθ2=13.
方法二:将目标函数齐次化,♡构造函数求最值
a+b+a2+b2=(a+b)2-(a2+b2)2(a+b)-a2+b2
=2aba+b-a2+b2.
得:4b+8a=ab.
将ab=4b+8a代入2aba+b-a2+b2得:
a+b+a2+b2=
8ba+161+ba
.
令x=ba,构造函数f(x)=
便可解决.
f(x)在(0,+∞)上有唯一的极值点x=43,且为极
图5
2. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色, 如果只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有多少?ข
3. 用5种不同的颜色给图6中标①②③④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?
图6
分析:先给①号区域涂色,有5种方法,再给②号涂色,有4种方法,接着给③号涂色,有3种方法.由于④号与①、②不相邻,所以有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有5×4×3×4=240种.
图7
四、辨析应用
某伞厂生产的品牌“太阳伞”伞蓬都由太阳光的七种颜色组成,七种颜色分别涂在伞蓬八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?