浅谈二次函数在高中阶段的应用

我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函数的主要内容，也是高中学习函数的重要基础。初中，我们主要学习二次函数的表达式、对称轴和顶点;而在高中，由于函数概念的延伸和知识的扩展，我们❣结合函数的单调性、奇偶性等函数性质进一步对二次函数的图像和最值问题进行了研究，巩固了二次函数在高中阶段的地位。二次函数在高♥中阶段的应用主要体现在分析一元二次方程的根的情况和解一元二次不等式的问题上。

一、二次函数与一元二次方程

在初中时，我们也学习解一元二次方程和研究一元二次方程的根的情况，但那✉时只是局限在韦达定理的应用上（主要反映根与系数的关系）而要进一步的研究一元二次方程的根的分布问题还是从二次函数出发。以下我们通过举例说明。

首先，我们要明确以下三个概念：一元二次方程的根♀？圳二次函数的零点？圳二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。

分析：本题首先要用换元法将方程化为一元二次方程来研究，令t。=2x，则原方程化为t2-2t+a=0（t>0），即方程有正数根，即函数y=t2-2t+a的图像在x轴正半轴有交点。∵函数的图像开口向上，且对称轴t=1， 要使得图像与 轴正半轴有交点，只要满足△≥0即可，△=4-4a≥0→a≤1，∴当a≤1时，原方程有解。

例2：关于x的方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两实根都在[0，4）内，求m的取值范围;

分析：令f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14，原命题等价于

f（0）≥0f（4）≥00