高中数学与研究性学习在物理中的应用实践研究

【摘 要】从五个方面阐述数学在物理学中的具体应用，帮助学生建立联系的观点，用联系的观点指导学习，以取得更大的进步。

【关键词】高中物理 向量 余弦定理 不等式 最值 圆锥曲线 直线 数列

【中图分类号】G【文献标识码】A

一、课题背景

北京奥运会举世瞩目的两座建筑鸟巢和水立方涉及ถ多方面的知识，其中主要涉及工程力学这一领域的知识。鸟巢和水立方工程的难度系数大，消耗的人力、物力、财力也大。在当时来说，如何节约材料、缩短工期是摆在建筑师面前的难题。中国工程师运用数学几何学中的点线面模型和相关知识，成功解决了在建筑过程中遇到的这个难题，使得建筑工作顺利完成，节约了大量材料，工期缩短了半年之长。牛顿凭借超凡的数学能力证明了，若太阳和行星间的引力与距离二次方成反比则行星轨道是椭圆的。这些是借助超凡的数学能力来完成世界性的难题。

数学在物理学当中的应用非常广泛。我们知道，一道物理应用题需要物理和数学知识相结合才能完整作答。一般来说，一道物理应用题要经过物理的逻辑推理，列出合理的关系式，运用数学运算来进行数理推导，最后求出答案。可见，数学在物理中的地位相当重要。

我们也知道，每一位物理学家也同时是了不起的数学天才，如牛顿，爱因斯坦，他们利用非凡的数学天才去解决自然之迷，利用数学这个工具去寻找和发现物理规律。著名数学家罗巴切夫斯基曾经说过：“任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天会在现实世界中找到应用。”数学用10个数字给我们拓展了无限美好的空间，下面我们将用实例验证这位数学家的名言。

二、课题的目的和意义

通过探究性学习，合作学习，促进同学之间有效地沟通，也使学生改变单一的接受性学习方式。另一方面使其学会如何在学科之间找到相互联系，通过研究性学习、参与性学习、体验性学习和实践性学习，实现学习方式的多样化。让学生知道学习的过程是一个不断提出问题、解决问题的探索过程，以此开阔思维，提高思考能力。

三、课题探究的主要内容

1.向量知识与余弦定理在°物理中的应用；

2.不等式解决最值问题在物理中的应用；

3.圆锥曲线在物理中的应用；

4.直线在物理中的应用；

5.数列知识在物理中的应用。

四、课题研究的方法、手段与途径

1.运用行动研究法、文献法和经验总结法；

2.注重收集题型，对相关例题进行学习和分析，以备使用和研究；

3.运用对比分析法，并通过网络与其他学校学生进行合作学习。

五、立项课题

广西教育科学“十二五”规划课题成果《高中数学教学与研究性学习整合的理论与实践研究》（课题编号：2013A035）。

六、学生合作小组成员

谢桂兰 冯诗云 蓝大镇 罗靖宏 廖华彬 陈涛 韦显雪 谢苑瑶

七、合作探究过程和成果

（一）向量知识与余弦定理在物理中的应用

在物理学里，值得注意的问题就是矢量和标量，这类似于数学上的向量与数量。矢量和向量的加、减和点乘完全相同。首先，矢量和向量的加法、减法都符合平行四边形定则和三角形定则。

这是矢量和向量的基本运算方法，但值得一提的是，数学上向量的计算引入了坐标法，同时又将向量表示成类似坐标的表达方式，如。且，同样，。在直角坐标系里记A（xa，ya），B（xb，yb），则。将这样的运算方式推广到物理学领域可快速地解决问题。例如 Fa 与 Fb 的夹角为 30°，Fa=8N，Fb=5N，求Fa+Fb的值。解决的方法之一就是套上数学方法利用坐标系进行运算。

建立坐标系，令 Fb 在 x 轴上，这样 Fa 与 x 轴的夹角为 30°，则，这样。所以。其实，条条大道通罗马，很多物理问题是可以通过多种途径得ศ到解决。又如任意一个 △ABC ，其顶点 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，在数学上存在这样的公式：a2=b2+c2-2bc cos A，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=b2+a2-2ab cosC。这三个公式被称为余弦定理。在物理上求两个力的合力的问题时可以用余弦定理解决。

在电学方面，直线还有其并不直观的应用，ฃ可以用来求电源内阻和电动势。如图4所示的电路中，路端电压 U 与电源电动势 E 、内阻 r 、电流 I 有如下关系：

U=E-Ir ，当滑动变阻器的滑片移动时，电流表和电压表的示数发生改变，建立坐标系，得到图5。由于种种原因，按照读数描出的点不严格地在同一条直线上，又由于电表工作范围的限制，我们只能画出该函数的一部分。我们尽可能地使直线贴近更多的点，或使更多的点落在直线上，以减少误差。将直线延长，与 U 轴交于一点，该点的 U 值就是电动势 E 的值，而内阻 r 就是该函数函数斜率的绝对值。当有两组不同的电流、电压值时，则由 两个式子联立可得 E 与 r 的值。

（五）数列知识在物理中的应用

小球从 h=45m 高处自由下落，着地后跳起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度就减少为原来的 k 倍。若 k=0.5 ，求小球从下落开始直至停止运动所用的总时间。（g 取 10m/s ，碰撞时间忽略不计）

〖解析〗求小球运动的总时间，必须根据小球的运动特征，由运动学公式将小球每碰一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和。

小球从 h0 处下落到地面时的速度：v1 ，运动的时间： 。第一次碰地后小球的速度为3k。小球在再次与地面碰撞之前作竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间： 。同理可推得，第 n 次碰地后，小球的运动速度为： vn=3kn，运动时间为： 6kn ，由此可知，小球从下落到停止运动的总时间为：代入 k=0.5， t=9 s 。上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为 k ，公比也为 k，用数学等比数列的求和公式可得其答案：t=9 s 。 本题是数学中的数列知识与物理学中的运动学结合的问题，在求解该问题中，正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键，然后应用数列和极限知识就可解出答案。

很多实例告诉我们，简单的数学知识，数学模型，在物理学的应用中，生活实际中，甚至是尖端科技中都发挥着令人意想不到的巨大作用。雷达的精确定位，导弹成功击中目标都离不开数学上的空间直角坐标系等有关知识；飞机在空中飞翔离不开伯努利方程，还有卫星的轨道的确定，建筑工程的设计等都离数学和三维立体空间。

正如罗巴切夫斯基所讲的话一样，数学在物理中确有很广泛的应用。数学与物理的综合应用以无限的魅力吸引着我们去探究。这让我们在学习和研究的过程中学会很多方法，得到许多快乐。随着我们对数学、物理学习的深入，学习的乐趣也将越来越多。

八、关于探究性学习的思考

针对“数学在物理上的应用”这一课ง题的研究，我们深刻地体会到，在高中，将各学科进行联系对我们掌握好各学科的知识是很重要的。我们在高中阶段的学科知识建构网络中，物理和数学知识只是其中的一部分。由于物理和数学之间的不同特性，所以我们又必须将它们分开来学习。但经过探究性学习，我们发现如果将它们联系起来在解题过程中往往会起到事半功倍的效果。

一道物理题应如何应用数学思想去解决是我们的研究方向。原来我们做题时并没有意识到数学方法的巨大作用，给我们留下了太多的遗憾。经过我们进行探究，我们掌握了许多的数学方法在物理上的应用，使得解物理题的方法丰富多彩，也增添了很多乐趣。例如，向量、余弦定理的应用把抽象的代数计算渗入形象的几何学中，简单明了；数列知识使具有无穷因式的式子变成了简单的加减乘除计算。更多的例子告诉我们，如果我们仅靠物理思维去思考解决物理问题，那么方法往往比较单一，解法不够简易，甚至做不出来，如果把它们与数学模型结合起来那么就完全不一样，给我们带来许多便利，而且十分有效。这样跨学科的思想碰幢，在我们研究其他问题时也常常遇到。我们常常被某种思维定式阻碍我们的思考，这时我们应该以联系的观点看问题，正确把握事物间最根本的联系，透过现象看本质，学会总结与应用，让我们在学习上走得更远。

经过这次研究，对我们的学科学习有很大的指导意义，它让我们学会如何在学科之间找到联系，用联系的观点来指导我们去学习各学科的知识。这有利于我们开阔思维，提高思考能力，也对开发我们的潜能有很大的帮助。这次的研究成果还可以帮助我们在以后的学习中，能够更好更快地解决数学和物理问题，这对我们来说是一笔财富。同时，在研究的过程中亲自查文献，问老师，做练习，上网查阅等，通过多渠道获取信息，锻炼了我们查询资料的能力；也让我知道，当我们遇到困难时，要团结共战，不灰心失望，坚持到底就能成功。同时让我们感到充实，感到年轻人蓬勃的朝气，也培养了我们独立自主能力，使得我们意志更坚强。这在我们今后的学习生活工作中都将发挥巨大的作用。

当然我们的研究还有很多不足之处，我们学识浅薄，研究范围不够广，还有很多知识我们都没有涉及。数学还渗透在物理学的许多领域中，只是我们能力有限还不能进行研究。但是我们会在未来的学习生活中充实自己，凭着我们敢于研究和勤于研究的精神，相信定会取得更大的进步。