高中数学解题中的分类讨论策略

高中数学中分类讨论是一种非常重要的解题策略，在分类讨论中，通过不断地对题目的知识点进行化整为零、归类整理，将题目包含的多种知识点与情况逐次分析，从而达到解题的目的。

1.分类讨论的含义与解题步骤

分类讨论是一种逻辑方法，也是一种常见的解题思路，在解题ฝ过程中分类讨论的应用十分广泛。我们在解决数学问题的过程中，经常会遇到一些不能用同一标准，或同一运算，或同一类型来概括的问题，因此，需要分成若干个局部问题去解决，需要化整为零，各个击破，这就是分类讨论思想。一般地来说，引起分类讨论的原因大致可以归纳为以下几点：

一是，由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成角、直线的斜率等，这类问题要以定义所受的限制条件来分类。二是，由数学运算、定理、公式引起的分类，如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式的两边同乘以一个正数还是负数等。三是，由函数性质引起的分类讨论，如函数的单调性、奇偶性，最值问题。四是，由图形位置的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限，点、线、面的位 ϡ置关系等。五是， シ由参数的变化范围引起的分类讨论，如含参数的方程或不等式，直线的点斜式或斜截式方程等。

在对数学问题的研究与解答中，分类讨论可以依据题给数据的共性与特性进行划分，具体步骤为：首先要明确讨论的对象与解题中心，这里要全面审题，将已知条件进行罗列；其次要根据已知条件进行科学分类，其分类的标准可以根据条件的属性、数量等进行确定，要做到不重不漏；最后要对解题过程进行总结。

2.分类讨论在解题中的应用与思考

例题已知mR，求函数f（x）=（4-3m）x2-2x+m在区间[0，1]上的最大值。

解析：由于当4-3m=0时，f（x）是一次函数，当4-3m0时，f（x）是二次函数，因函数图像的开口方向不同，求最大值的方法也不同，所以应对m分类讨论。

（1）当4-3m=0时，即m=43时，函数y=-2x+43，它在[0，1]上是减函数，所以f（x）max=f（0）=43。

（2）当4-3m0时，即m43时，f（x）是二次函数。

①若4-3m0，即m43，二次函数f（x）的图像开口向上，对称轴x=14-3m0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得，f（0）=m，f（1）=2-2m。

当m2-2m，又m43，即2343时，f（x）max=m；

当m2-2m，又m43，即m23时，f（x）max=2（1-m）。

②若4-3m0，即m43，二次函数f（x）的图像开口向下，对称轴x=14-3m0，它在[0，1]上是减函数，所以f（x）max=f（0）=m。

综上所述，由（1）（2）可知，这个函数的最大值为f（x）max=2-2mฌm23，mm23。

思考：本题的分类比较复杂，因此要注意不重不漏。当开口向上时，能不能按对称轴与区间的关系进行讨论呢？二次函数在闭区间上的最值问题是高考中的重点内容，我们在平时的学习过ป程中应如何熟练掌握呢？