导数的几何意义及运用解密

时间:2024-12-26 02:50:13 来源:作文网 作者:管理员

函数[y=f(x)]在[x=x0]处的导数[f(x0)]的几何意义是曲线在点[x0]的切线斜率,它不仅是导数概念直观化形象化的模型,也是导数作为数学工具加以运用的一个重要途径.把握导数几何意义及运用的常用类型,对于学好导数有着极其重要的意义.本文以列举范例的形式,对导数几何意义及运用加以解密.

基础运用――切线斜率

例1 设曲线[C:y=x3],点[P(1,1)],直线[l:y=-x+1].

(1)求曲线[C]在点[P]处的切线[m]的方程,并求切 ☻线[m]与[C]的公共点的坐标;

(2)曲线在哪个点处的切线与[l]垂直?

再由[y=3x-2,y=x3]得,[x3=3x-2],

(2)切线与直线[l:y=-x+1]垂直,则切线斜率为1.

设ღ切点为[(x0,x03)],由[y=3x2]得,[3x02=1],

则[x0=±33],从而切点为[(33,39)]或[(-33,-39)].

点拨 “求切线,定切点”,包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况,求切线方程的难点在于分清“过点[(x0,y0)]的切线”与“点[(x0,y0)]处的切线”的差异. 突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处:在过点[(x0,y0)]的切线中,点[(x0,y0)]不一定是切点;而点[(x0,y0)]处的切线,必以点[(x0,y0☿)]为切点,故此时切线的方程才是[y-y0=f(x0)(x-x0)].

引申运用――割线斜率

A. [f(x)=x] B. [f(x)=1x]

C. [f(x)=x2] D. [f(x)=2x]

答案 B

点拨 函数[y=f(x)]在图象上任意两点[M(a,f(a)),N(b,f(b))]连线的斜率(存在的话)[k=f(b)-f(a)b-a]的取值范围就是函数图象上任意一点切线的斜率(如果存在的话)范围,即导函数的值域,运用这一点,可以解决一些有关割线斜率的棘手问题.

拓展运用――公切线

同理,函数[y=-x2+a]的导数[y=-2x],曲线[C2]在点[Q(x2,-x22+a)]的切线方程是

[y-(-x22+a)=(-2✄x2)(x-x2)],

即[y=-2x2x+x22+a.] ②

如果直线[l]是过[P]和[Q]的公切线,则①和②是同一直线方程.

若[Δ=4-4×2(1+a)=0].

由①得公切线方程为[y=x-14].

所以公切线段[PQ]与[PQ]互相平分.

点拨 凡遇公切线,先设两切点,然后由导数计算°切线斜率,再由点斜式写出两曲线的切线,最后利用两切线重合列方程组求解.

综合运用――化归转化

解析 如上图,运用运动变化的观念可知,与已知直线[l]平行且与抛物线[C]相切的直线的切点[P]到直线[l]的距离最短.

设切点[P(x0,x02+x0-2)],由抛物线[C:y=x2+x-2]得,

[y=2x+1],

则[2x0+1=3],故[x0=1].

则切点[P(1,0)],此时最短距离[d=3×1-1310=10].

点拨 本题属于“非圆类曲线上的动点到与之相离的定直线距离的最值”,解答此类问题,求曲线的切线方程是基础,而转化是关键(将曲线上的动点[P]到定直线[l]的距离最值转化为直线[l]与平行于[l]的抛物线[C]的切线之距).当然本题也可以设[P(x0,x02+x0-2)],用点到直线距离公式及配方法求解.


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