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第一篇:《分数指数幂公开课教案》

《分数指数幂》教学设计

陈炜明(2013/3/5公开课)

一、教学目标：

知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。

过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。

情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。

二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质

三、教学难点：分数指数幂的概念

四、教学过程：

【问题情境】

里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。

假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则

（1）第3级地震所释放的能量为多少？

3 答：31.6227

（2）第x级地震所释放的能量为多少？

答：y31.6227

（3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？

教师举例

x

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？

（此时教师在黑板上画出函数y2,xZ的图像辅助说明该问题的提出）

【温故知新】

mx问题一：a表示什么含义（当m为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运

算都有哪些运算性质？

答：m个a相乘。

amanamn,

am

mna,(mn,a0)n （此处板书） a

(am)namn,

(ab)mambm

在这里m,n均为正整数。

问题二：若在计算amn时，遇到mn时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？

若mn呢？

答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到

a01(a0)。同理，可以对负分数指数幂进行规定。

小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。

问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？

答：引入负指数幂可以使我们对许多数学问题书写方便，计算简单。（可口头举几个简单的例子）

【意义建构】

问题四：类似上面的推广，当把整数指数幂推广到分数指数幂的时候，你想保留什么性质不变？用具体的例子试一试。 1

2121122 aaaa1a

a

a

1

3121313111333 a

aaa热爱劳动手抄报a1a

a

1

3 a1

n一般地，a_____（形式上的认为）

同理

2

32323222333aaaa

2

33a2 (a)

a2

2

3a m

n一般地，a______（形式上的认为）

【数学理论】

假设指数运算律“(a)a(k,nZ)”对分数指数幂运算也适用。 knkn

mmnm*knn令k，(nN)，那么(a)(an)anam，由n次方根的定义，就可以n

m

n把a看成a的n

次方根，即a

一般地，我们规定

m

nmmn aa0,m,n均为正整数）

仿照负整数指数幂的意义，我们规定

m

n a1

am

n（a0,m,n均为正整数）

问题五：分数指数幂的意义中，为什么规定a0，去掉这个规定会产生什么后果？ （可先举具体的例子让学生感知）

答：根式与分数指数幂既有联系，又有区别。分数指数幂的实质是根式。只要根式有意义，不论a为何值，都可以写成分数指数幂的形式。但是要注意的此时指数m是一种记法n

形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，不能参与约分，通分等运算。

m进行约分，通分等运算的结果和把分数指数幂化成根式后进行运n

mm算的结果一致。此时与传统意义上的分数作用效果是相同的。这时把指数看作普通分nn当a0时，对指数

数是合理的。

注：绝大部分根式计算，尤其是只有乘除，乘方，开放的根式运算，化为分数指数幂按幂的运算法则去计算要简便的多。

有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数，对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变。

【数学运用】

例1求下列各式的值

13

（1）100 （2）8 （3）9 （4）()4 81122332

例2用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）

（1分数指数幂优秀教案

）a （2

【反思与提升】分数指数幂优秀教案分数指数幂优秀教案

1．分数指数幂是根式的另一种写法。

2．熟练掌握有理数指数幂的运算法则，它是化简的基础。

3．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算。

4．分数指数幂和整数指数幂的运算性质是一致的。

5．继续推广到实数指数幂（P61）。

【练习与作业】

课本P62 2,3,4,5

创新课时训练P35-36 数学之友P29-30

第二篇:《《分数指数幂》教学设计》

分数指数幂

一、教学目标

〖知识与技能〗

（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗

通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗

通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

二、教学重难点

根式、分数指数幂的概念及其性质。

三、教学情景设计

1、复习讨论

（1）根式的相关概念

（2）整数指数幂：aaaa 运算性质：aaa2、问题情境设疑

问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个

m

n

mnn

,(am)namn,(ab)nanbn(a0,m,nN*,n1)。

1

时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P()5730，考古学家

2

根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。

例如：

当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，„„年后，它体内碳14的含量P分别为

t

11213

，()，()，„„ 222

6000

10000

100000

5730

111

当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为()5730，()5730，()

222

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：22？ 分析：22

。

2322232232，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单

化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

3、分数指数幂

实例引入：a

10

(a)aa，a

252

105

12

(a)aa

343

124

问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？

2、a2,b,c5如何表示？ 结论：规定a

初中写景作文600字

mn

被开方数的指数

根指数

am(a0,m,nN*,n1)

mn

问题3、正数的负分数指数幂是：a分析：a

mn

?(a0,m,nN*,n1)

a

1

0

mn



a0a

mn

分数指数幂优秀教案

1

am

(a0,m,nN*,n1)

如：5



43



5

4

，a



23



1

a

2

(a0)。

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

4、有理指数幂的运算性质： （1）a·aa

r

r

rs

(a0,r,sQ)； (a0,r,sQ)； (a0,b0,rQ)

12

13

1123

（2）(ar)sars （3）(ab)raras

回到前面的问题，则有22222232，对于本节开头的问题2，考古学家正式利用有理

56

数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P的值。例如

11600

当t=6000时，P=()573()，即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原0.484（精确到0.001）

22

来的48.4%。相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。

600

1516

例1．求值：8,25,(),()4

281



2

312

青春作文

3

例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:

①aa

3

②a2·a

aa

例3.计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）(2ab)(6ab)(3ab) （2）(mn

例4.计算下列各式

23

12

12

13

16

56

14

388

)

（1）(25)25 （2）

例5.设a、b、c均为不等于1的正数，且abc，

x

y

z

a2aa

2

(a0)

111

0,求abc的值。 xyz

5、无理数指数幂

结合教材P52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．

指出：一般地，无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

思考：参照以上过程，请你说明无理数指数幂2例3．5

2

3

的含义。

1

()25

点评：本题还可以进一步推广，说明与爱同行作文可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．

四、实战演习

1.课本54页练习题 2.化简：

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