字数作文 > 100字作文 > ：周期数列的第100项是多少是由小学生作文网为您精心收集，如果觉得好，请把这篇文章复制到您的博客或告诉您的朋友，以下是周期数列的第100项是多少的正文：

第一篇:《周期数列详解》

周期数列

一、周期数列的定义：

类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列{an}，如果存在一个常数

T(TN)，使得对任意的正整数nn0恒有anTan成立，则称数列{an}是从第n0

项起的周期为T的周期数列。若n01，则称数列{an}为纯周期数列，若n02，则称

数列{an}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。

设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(mod m)}。若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。

二、 周期数列的性质

1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

2、如果T是数列{an}的周期，则对于任意的kN，kT也是数列{an}的周期。 3、若数列{an}满足anan1an2（nN，且n2），则6是数列的一个周期。 4、已知数列{an}满足antan（n,tN，且t为常数），Sn分别为{an}的前n项的和，若nqtr（0rt，rN），则anar，SnqStSr。

特别地：数列{an}的周期为6，（即：an6an）则S2012335S6S2 5、若数列{an}满足ananks(nk,nN)，则数列{an}是周期数列； 若数列{an}满足anan1anks(nk,nN)，则数列{an}是周期数列。 若数列{an}满足anan1anks(nk,nN,s0)，则数列{an}是周期数列。

特别地：数列{an}满足anan1s(nk,nN)，则数列{an}周期T=2；

数列{an}满足anan1an2s(nk,nN)，则数列{an}周期T=3 数列{an}满足anan1s(nk,nN)，则数列{an}周期T=2； 数列{an}满足anan1an2s(nk,nN)，则数列{an}周期T=3

6、若数列{an}满足an

aan1b

,a+d=0,则数列{an}是周期T=2；

can1d

3an17

描写方法

,则数列{an}是周期T=2；；

an13

例：数列{an}满足an

三、周期数列性质的简单应用 1、求数列的通项公式

（1）数列 1，2，1，2，1，2，… 的通项公式 解析：原数列可构造成：

3131313131，，，，，2222222222

31

，…… ， 22

它的通项公式可以写成：an

或者写成：an

31

(1)n (n∈ N)， 22

31

sin(n) ( n∈ N)， 22231

cosn (n∈ N)， 22

又或者写成：an

总结：一般的数列 a，b，a，b，a，b，…… 它的通项公式可以写成：

an

11

(ab)(ba)cosn ( n ∈ N) 22

（2）1，0，1，1，0，1，……的通项公式

解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数ytanx 进行改造，使它们能发

生联系。事实上，当 x分别为



3

，0，

24

，，，，……时，tanx的值分别为

333

13

，0，3，3，0，，……

这样1，0，1，1，0，1，……的通项公式可以写成：

tan(n2)

所以，原数列的通项公式为 bn2

13

tan(n2) (n ∈N)

（3）数列{cn} ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式

解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……

再减去平均数5得到：3，1， 1， 3，3，1， 1， 3，……

分解成两个数列：(1) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1，……

(2) 2，2， 2， 2， 2， 2， 2， 2，…… (1)的通项公式为(1)n 易得，(2)的通项只要求出1，1，1，1，1，1，1，1，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2。

以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：

c1n

11

2sin(n) (n∈N)，

24

∴ 2，2，2，2，2，2，2，2，……的通项为：

c2n22sin(

11

n) (n∈N)， 24

∴ 3，1，1，3，3，1，1，3，……的通项为：

n

c3n(1)22sin(则原数列{cn}的通项为：

11

n) (n∈N)， 24

cn

111

[5(1)n22sin(n)] (n∈N)。 224

（4）{cn}：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式

乘以(－4)得：

4，4，4，4，8，8，8，8，12，12，12，12，……，

加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：

cn'

111

[5(1)n22sin(n)] 224

又cn'4cn(n4) 化简整理得：

cn

111

[2n3(1)n22sin(n] (n∈N)。 824

2、求数列中的项

例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列{an}中，a13,a25且对于大于2的正整数，总有anan1an2，则a2009等于（ ）． A．-5 B．-2 C．2 D．3．

解析：由性质（2）知，数列{an}是以6为周期的周期数列，而200963345，再由性质（3）可得a2009a5a4a3(a3a2)a35，故选A．

例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列{an}满足a1a（a为实数），an

an11an1

(nN)，求a2000．

解：an

33

an1

an11．我们发现a(nN)可变形为ann3an11an11an1

33

an1

十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系

6

1tanxtan

6

n(n1)

的原型．通过运算，发现本题中可取an=tan，an1tan．显然此数列的

66

3a1

周期是6．而200033362，再由性质（3），得a2000a2．

a

与三角式tan(x



tanxtan



)

3、求周期数列的前n项和周期数列的第100项是多少。

例5、设数列{an}中，a1a21，a32，且对nN，有anan1an2an3=

anan1an2an3（anan1an21）成立，试求该数列前100项和S100．

解：由已知条件，对任何自然数N，有anan1an2an3= anan1an2an3，把式中的n换成n1，得an1an2an3an4= an1an2an3an4．两式相减得，

an1an2an3(anan4)anan4．因为an1an2an31，所以

an4an(nN)．所以{an}是以4为周期的周期数列，而100425，再由性质

（3），得S10025S425(1124)200．

例6（上海08质检题）、若数列{an}满足an2an1an(nN)，Sn为{an}的前

n项和，且S22008，S32010，求S2008．

解析：由an2an1an及性质（2），可知所以数列{an}是以6为周期的周期数列．由S22008，S32010，知a1a22008，a1a2a32010，再结合

a3a2a1，可求得a11003，a21005，a32；由递推关系式可进一步求得

a41003，a51005，a62．因为200863344，由性质（3），得S2008334S6S4334010071007．

4、求周期数列的极限

例7、（06北京）在数列{an}中，a1，a2是正整数，且anan1an2，

n3,4,5，则称{an}为“绝对差数列”．若“绝对差数列”{an}中，a203，

a210，数列{bn}满足bnanan1an2，n1,2,3，分别判断当n时，数

列{an}和{bn}的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．

解析：因为在绝对差数列{an}中a203，a210．所以自第20项开始，该数列是

a203，a210，a223，a233，a240，a253，a263，a270…．即自

第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n时，an的极限不存在．当n20时，bnanan1an26，所以limbn6．

n

第二篇:《“周期数列”知多少》

“周期数列”知多少

我们在学习函数时，通常会围绕着函数的单调性、奇偶性和周期性进行研究；那么，数列作为一种特殊的函数，它是否有周期性呢？有周期性的数列又有哪些特点呢？下面是我在教学中总结出的几点认识，仅供大家参考． 1、周期数列的概念及主要性质

类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T(TN)，使得对任意的正整数nn0恒有anTan成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列．若n01，则称数列{an}为纯周期数列，若n02，则称数列{an}为混周期 数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期．

通过周期数列的定义以及所学过的周期函数的性质，发现周期数列满足以下性质： （1）如果T是数列{an}的周期，则对于任意的kN，kT也是数列{an}的周期． （2）若数列{an}满足anan1an2（nN，且n2），则6是数列的一个周期．

周期数列的第100项是多少。





（3）已知数列{an}满足antan（n,tN，且t为常数），Sn分别为{an}的前n项的和，若nqtr（0rt，rN），则anar，SnqStSr．

（4）若数列{an}满足ananks(nk,nN)，则数列{an}是周期数列；若数列{an}满足anan1anks(nk,nN)，则数列{an}是周期数列．若数列{an}满足

anan1anks(nk,nN,s0)，则数列{an}是周期数列．











2、周期数列性质的简单应用 （1）求周期数列的通项公式

例1（04山东数学竞赛）、已知数列{an}满足a12，an11

1an

，求an．

分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可． 解：∵an11

1an

，∴an21

1an1



1an1

，从而an31

1an2

1an1an；

即数列{an}是以3为周期的周期数列．又a12，a21

1a1



12

，a31

1a2

1，所以

an

2,n3k11

,n3k2． 2n3k31,

例2、若数列{an}满足an1周期数列的第100项是多少。

1

2an, (0an)62

；若a1，则a20的值为（ ）． 

712a1, (a1)

关于中秋的文章

nn

2

57

A．

67

B． C．

67

37

D．

37,a4

1767

．

,．故

解析：紧扣分段函数的定义，代入a1=求得a2=

57

57

，并依次求出a3

此数列是周期为3的周期性数列，故a20a2（2）求周期数列中的项

．故选B．

写桥的作文

例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列{an}中，a13,a25且对于大于2的正整数，总有anan1an2，则a2009等于（ ）．

A．-5 B．-2 C．2 D．3．

解析：由性质（2）知，数列{an}是以6为周期的周期数列，而200963345，再由性质（3）可得a2009a5a4a3(a3a2)a35，故选A．

例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列{an}满足a1a（a为实数），

3an113an1

an(nN)，求a2000．



解：an

3an113an1

(nN)可变形为an

1



an1

33

33an1

an1

33an1

．我们发现an

1

与

33

三角式tan(x



6

tanxtan)

1tanxtan



6



6

十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原

写四季的作文

型．通过运算，发现本题中可取an=tan

n6

an1tan，

(n1)

6

．显然此数列的周期是6．而

200033362，再由性质（3），得a2000a2

3a13a

．

注：此类问题也可采用不动点法求解，有兴趣的朋友不妨试一下． （3）求周期数列的前n项和

例5、设数列{an}中，a1a21，a32，且对nN，有anan1an2an3=

anan1an2an3（anan1an21）成立，试求该数列前100项和S100．

解：由已知条件，对任何自然数N，有anan1an2an3= anan1an2an3，把式中的n换成n1，得an1an2an3an4= an1an2an3an4．两式相减得，

an1an2an3(anan4)anan4．因为an

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