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在变与不变中(一)

在变与不变中看和谐统一

安徽蚌埠第五中学 杨明正

2009年中考已离我们渐渐远去，但中考留给我们的思考还很多很多，中考试卷中涌现出了大量的新题好题，他们或情景新、或立意新、或理念新抑或能让人回味无穷，所以大家对中考试题的研究热情依然高涨不迭，下面我来谈谈2009年中考安徽卷第22题（一道几何题），与大家共享。

试题：如图1，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝a，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对； （2）请连结FG，如果a＝45°，AB

＝AF＝3，求FG的长． 解答：（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF∽△BGM．

由题知∠A＝∠B＝∠DME＝a， ∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG ， ∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当a＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM

＝ 又∵△AMF∽△BGM，∴

8∴BG=，

3

AFBM

， 

AMBG

D

图 1

E

又ACBC4，∴CG4，CF431，

∴FG.

该题点评

本题从一个简单的几何图形着手，给的条件主要是一个中点和三个角相等。先是要求摸索有几对相似三角形，然后证明期中之一，这里考查相似三角形的判定，难度中等，而第二问求线段长要用到相似三角形的性质，所以学生在证明第一问的时候，要选择证明△AMF∽△BGM这一组，正好可以为第二问做铺垫，故在这个地方如果处理不好，则影响后面问题的解决。整个题目命题的思路是：学生自己摸索→自己选择→自己证明→自己求解，一改过去指明要学生做什么事情的模式，形式灵活富有创意，在考查所需的知识点的同时，又能很好得考查学生处理问题的能力。此题有几个细节，一是△ACB是等腰直角三角形；二是由于

FCGACB900，所以F、C、G三点共圆，故所求FG其实就是FCG外接

53

8343

圆的直径；三是AF＝3AC4,如果在a＝45°等条件不变的情况下，只改变AF的长度，随着AF的变化，△FCG在变化，FG的长度也在变化，那又该如何去求FG的长，是否蕴藏着“变化中的不变的通性通法”，以及随着AF的变化，FG的长有没有最大值和最小值，又该如何解决？所以我认为本题是一个值得探究、

挖掘，也是可以拿到教学实践中作为探索性例题来用的一道好题。

价值挖掘

随着AF长度的变化，图形在变化，其实是DME(=FMG=a)在绕着M点旋转（F点从A点开始沿着AC移动，DME绕着M点按逆时针方向旋转），主要

D

C D 、E ) B

→ →

图 2

图3

D

图4↓

E

有5种情形，如图2-6 . 假设a＝45°，AB

＝题干中条件

都不变，下面探究AF变化时，图6

图5 对应FG的长，在探究之前先来说明一个事实,就是在以上五中

情况下都有△AMF∽△BGM,下面证明图2时的情况,其他情况读者自证：

AB,

根

M



据

F

三

M

角

E

形外角和定理知

所以△AMFBGM，令AFx F，E∽△

AFAM

1当0x2时，如图2，有△AMF∽△BGM得，

BMBG

AMBM88

BG，CGBGBC4，又CFACAF4x，故在

AFxx

A

F

Rt

武则天的名字 作文教材

GCF中，FG；

2、当x2时，如图3，F是AC的中点，此时C、E、G三点重合，FG2；

3、当2x4时，如图4，方法见上面中考解析，

得FG

4、当x4时，如图5，C、F、D三点重合，此时G是BC的中点，FG=2；

5、当x4时，如图6，仍然由△AMF∽△BGM

可得FG综上不难看出，2、4两种情况的结果一样，1、3、5三种情况结果的表达式本质上也是一样的，故得到FG关于AF长度x的一个分段函数：

FG2,(x2,4)

x0且x2,4)，回过头来看一下，五中情况求解的方法完全一样，即“形变神不变”。其实当x2或4时，也满足下面的函数解析式，

求出FG2，

故又可以用一个解析式来表达：FG(x0),

真是“变与不变完美和谐统一”．接下来考虑AF的长x分别去多少时，FG的长取最大值和最小值。首先定性的来分析一下，见图2，当F点趋近于A点即x0时，ME与 BC趋于平行，则ME与BC的交点G趋于无穷远处，故FG的长趋于无穷大．见图6，当G点趋近于B点时，AC与MD趋于平行，则AC与MD的交点F在线段AC的延长线上趋于无穷远处,此时x，故FG的长也趋于无穷大．所以FG的长没有最大值，从图2到图6的变化过程中FG应该存在最小值。下面提

供一种求FG最小值的方法，供参考：

令FGf(x)(x0),

8

即求函数f(x)的最小值。再令g(x)(4)2(4x)2,(x0)，则当g(x)取最

x

6464

小值时，f(x)也取最小值。展开g(x)2x28x32，求导

xx

12864

g'(世界真奇妙作文x)322x8，令g'(x)0，整理得x44x332x640，分解

xx(x464)(4x332x)0(x28)(x28)4x(x28)0

2(x24x8)(x28)0x280x22或2，

当0x22时，g'(x)0,当x22时，g'(x)0,所以函数g(x)在x0时的单调性是先减后增，则当x22时，g(x)与f(x)同时取得最小值，

fmin(x)424，由于2x224，所以是在上面第3种情形时FG取得最

小值。至此整个探究活动完毕！在这里其实我们也是很好的运用了建立函数模型

来研究动态问题的思想方法.

在变与不变中(二)

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在变与不变中 我们探索前进

作者：

来源：《经济与法治》2014年第06期

那一次我真作文

记得深圳地铁罗宝线开通的日子是2011年6月15日，那一天，我很兴奋，因为罗宝线怡景地铁站，就在我家门口。

深圳地铁开通，不仅仅是把路面的“拥堵”变“通途”，更是城市格局、新商业、产业圈的重新大洗牌，其意义深远不在话下，而具体到罗宝线的开通，则意味着我的出行多了一种选择，所以格外兴奋。但乘坐几条线路后才发觉，快捷，是从地铁站入口到地铁站出口的感觉，而与四通八达的公交车相比，地铁各个线路的接驳和出入口的选址也有不得不说的短板。

地铁换乘，有便利也有不便利的线路，便利的出了地铁，对面便可等候换乘，不便利的线路，则需要先坐公交，然后换地铁，再在地铁站内转乘另一地铁线路，终于出了地铁站，再走上1～20分钟，才到公司大厦的乘客比比皆是。

地铁出入口的地址选择，追求路面景观和兼顾主干道的铺设，

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