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第一篇:《苏北四市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学试卷》

苏北四市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试

数 学Ⅰ

一、填空题

1．已知集合A{0,a}，B{0,1,3}，若AB{0,1,2,3}，则实数a的值为 2．已知复数z满足z4，若z的虚部大于0，则z

3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有 辆． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为

2

）

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5．函数f(x)2sin(x)(0)的部分图像如图所示，若AB5，则的值为 6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 ．

x2y2

1渐近线的距离为 ． 7．抛物线y4x的焦点到双曲线

169

2

8．已知矩形ABCD的边AB4，BC3若沿对角线AC折叠，使得平面DAC平面BAC,则三棱柱

DABC的体积为

9．若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1a2a13)13，等差数列{bn}满足b7a7，则

b1b2b13的值为．

10．定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)log2(x2)(a1)xb（a，b为常数），若

f(2)1，则f(6)的值为．

11．已知||||2，且1，若点C满足||1，则||的取值范围是．

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2xcosxx0

12．已知函数f(x)，若关于x的不等式f(x)的解集为(,)，则实数a的

2x(ax)x0

取值范围是 ．

13．已知A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，若AD2BD恒成立，则最小正整数t的值为 ．

14．设a,b,c是正实数，满足bca，则

bc

的最小值为 cab

31，tan(AB)， 52

二、解答题

15．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，已知sinA（1）求tanB； （2）若b5，求c.

16．如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，

PA平面PDC,点E为棱PD的中点，

求证：（1）PB//平面EAC；（2）平面PAD平面ABCD.

C

17．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线

C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN，且PM,PN

的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数

yx

42

(1x9)模型，设PMx，修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元，题中所涉及2x

的长度单位均为百米. （1）求f(x)解析式;

（2）当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．2016苏北四市联考数学。

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18．已知各项均为正数的数列{an}的首项a11，Sn是数列{an}的前项和，且满足：

好习惯作文

anSn1an1Snanan1anan1(0.nN*).

（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值; （2）若

1

，求Sn. 2

1x2y2

19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：221(ab0)的离心率e，左顶点为

2ab

A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.

（1）求椭圆C的方程;

中学生作文题目

（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的2016苏北四市联考数学。

x

k(k0)都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存

在说明理由;

（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求

ADAE

的最小值.

OM

20．已知函数f(x)e[x2x(a4)x2a4]，其中aR，e为自然对数的底数 （1）若函数f(x)的图像在x0处的切线与直线xy0垂直，求a的值． （2）关于x的不等式f(x)e在(,2)上恒成立，求a的取值范围． （3）讨论f(x)极值点的个数．

x

13

32

43

x

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附加题部分

21．【选做题】

A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点

B,C．求证：BT平分OBA．

B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为28sin()130，已知A(1,

1

12

，求矩阵A的特征值和特征向量． 4



3

33

),B(3,)，P为圆C上一22

点，求PAB面积的最小值．

D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x,y均为正数，且xy，求证：2x

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 ．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，

1

2y3．

x22xyy2



ABAC1，点P是棱BB1上一点，满足BPBB1(01)．

（1）若

1

，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值； 3

2

，求的值． 3

B的正弦值为（2）若二面角PAC1

23.（本小题满分10分）

已知数列{an}满足an3n2,f(n)

111

,g(n)f(n2)f(n1)，nN*． a1a2an

（1）求证：g(2)；（2）求证：当n3时，g(n)．

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1

313

苏北四市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试

数学I参考答案及评分标准

一、填空题

1. 2； 2. 2i； 3．75； 4．9； 5．7．

1

； 6.； 33

324

； 8. ； 9．26； 10. 4； 11

．； 55

1

122016苏北四市联考数学。

．+；13．4； 14.2016苏北四市联考数学。

．

2



二、解答题

15．（1）在锐角三角形ABC中，由s英语写作模板inA

所以tanA

43

，得cosA， …………2分

55

sinA3

.……………………………………………………………4分 cosA4

tanAtanB1

由tan(AB)，得tanB2. ………………7分

1tanAtanB2

（2）在锐角三角形ABC中，由tanB

2，得sinB

，cosB9分

所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，…………………11分

bcbsinC11

由正弦定理，得c. ………………14分

sinBsinCsinB2

16．(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE．………2分

因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点． 因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．………4分 因为PB平面EAC，OE平面EAC，

所以直线PB∥平面EAC．……………………6分

(2) 因为PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以 PA⊥CD． …………………8分

因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分 因为 PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以 CD⊥平面PAD．…………12分 因为CD平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． …………………14分

17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C

的方程为y=x所以点P

坐标为x,x

C

1≤x≤9，PMx 

， 2x

直线OB的方程为xy0， ……………………………………………………2分

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