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篇一:《2.2 综合法、分析法和反证法》

高二数学必修五导学案 编号：

课题：2.2综合法、分析法和反证法 课型：新授课 课时：1

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.

2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 3了解反证法是间接证明的一种基本方法.4.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问

8591 ，找出疑惑之处） 二、新课导学

※ 学习探究

探究任务二：反证法

1．反证法

一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论不成立)．经过正确的________，最后得出________，因此说明______________，从而证明了原命题________．这样的证明方法叫做反证法．

2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与________、________、________、________矛盾等．

※ 典型例题

例1

例2

※ 动手试试

1.已知a，bR，且ab，ab2，则（ ）

a2b2a2b2

A．1ab B．ab1

22a2b2a2b2

C．ab D．1 ab1

22

2. 在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

1311511171221222…则可归纳出式子为（ ） 222 233 2344

11111111

A．1222(n≥2) B．1222(n≥2)

23n2n123n2n1

3. 观察式子：1

C．1

1112n11112n

D．(n≥2)1(n≥2) 222222

23nn23n2n1

4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）

A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数

5. 已知实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，求证a，b，c，d中至少有一个是负数．

※归纳反思

篇二:《题目b6a358d5360cba1aa811dad7》

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

篇三:《分析法反证法综合法构造法》

分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。

构造法是微积分学，代数学自身的方法。

分析法 —— 尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。 一元微积分讲究条件分析。要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。比如

已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。 （见讲座（9）基本推理先记熟。）

已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ” 的推理。

（这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，„„，等的关键。

见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。）

已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。

（见讲座（42）矩阵乘法很惬意。）

已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。计算参数。”的推理。

（见讲座（48）中心定理路简明。）

“已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算

（见讲座（78）分布函数是核心。）

一个娴熟的推导就是一条高速路啊。你非常熟练了吗？！

综合法 —— 由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。

最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。

例 设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ ，使得 f (ξ) f ′(1―ξ) = f ′(ξ) f (1―ξ)

分析（综合法） 即要证明 f (ξ) f ′(1―ξ) ― f ′(ξ) f (1―ξ) = 0

点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。用x替换ξ，就得到刚运用了定理，还没有把点ξ代入前的表达式。即

f (x) f ′(1―x) ― f ′(x) f (1―x) = 0 （在点 x =

ξ 成立）

联想到积函数求导公式 ，即 （f (x) f (1―x)）′= 0 （在点 x =ξ 成立）

这就表明应该作辅助函数F (x) =写雨的散文 f (x) ，证明其导数在（0，1）内至少有一零点。

易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在 [a, b] 连续，在（a, b）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论。

当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路。如果关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式。

反证法 —— „„。

这是大家都较为熟悉的方法。但是你也许没有注意到，用反证法简单可证的一个小结论，在微积分中有着很广的应用。粗糙地高中生作文说，这就是

“A极限存在（或连续，或可导）+ B极限不存在 （或不连续，或连续不可导）= ？”

随便选一说法用反证法，比如

如果，“连续A + 不连续B = 连续C” 则 “ 连续C －连续A = 不连续B”

这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。不过要注意，证明是在“同一个点”进行的。

作为简单逻辑结论，自然类似有：

（同一过程中）A极限存在 + B极限不存在 = C极限一定不存在

（同一个点处）A可导 + B连续不可导 = C一定连续不可导

还可以在级数部份有： 收敛 + 发散 = 发散 ， 绝敛 + 条敛 = 条敛

总结英语

对于乘法，由于分母为0时逆运算除法不能进行，必须首先限定以确保用反证法获得结论。比如

“若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不可导，则

积函数y = f（x）g（x）在点x0一定连续不可导。”

（见讲座（8）求导熟练过大关 。）

对于积函数y = f（x）g（x）求极限，我们由此得到了一个小技术。即 “非零极限因式可以先求极限。”（见讲座（16）计算极限小总结。） （画外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要极限非0，就先给出极限，再“骑驴看唱本”„„。）

构造法 ——（难以“言传”，请多意会。）

老老实实地写，实实在在地描述，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法 ——“构造法”。但是在构造法思维过程中，往往也综合运用着分析法，综合法，反证法。

“证明有界性”，也许最能显示“构造”手段，即把变量的“界”给构造出来。

*例 已知函数 f（x）在 x≥a 时连续，且当x → +∞ 时f（x）有极限

A ，试证明此函数有界。

分析 本题即证，∣f（x）∣≤ C

讨论有界性，我们只学了一个定理，在闭区间上连续的函数有界。本题中如何“管住”那个无穷的尾巴呢？那就看你能否体验条件“x → +∞ 时f（x）有极限A” ，即

“我们一定可以取充分大的一点x0，使得x > x0时，总有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”综合法分析法反证法

把半直线x≥a分成 [a，x0] 与 x > x0两部分，就能“构造”得∣f（x）∣≤ C

（（祥见讲座（9）基本推理先记熟。）

在讲座（11）“洛尔定理做游戏”中讲的“垒宝塔” 游戏，在讲座（13）“图形特征看单调”中讲的“逐阶说单调”，都是构造法的讨论方式。

每完成一个题目，不妨想想用的什么方法。你也许提高得更快。

篇四:《21综合法、分析法与反证法》

2037年

高2014届文（实）一轮复习学案21 我参与、我快乐！ 编写人：贾长江 2013年9月5日

【学习目标】 第二十讲 综合法、分析法与反证法

1、了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程与特点。

2、了解间接证明的一种方法反证法，了解反证法的思考过程与特点。

【学习重点】会用分析法、综合法、反证法证明问题。

【学习难点】根据问题的特点，选择适当的证明方法。

【构建框架】

1、请从综合法、分析法与反证法的定义来构建本节课框架。

【问题辨析】

1、综合法与分析法各自有什么特点？

【典题剖析】

1、已知a1,a2R，且a1a21，求证：综合法分析法反证法

2、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。

3、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：

114 a1a2bcaacbabc3 abc综合法分析法反证法

4

5、求证：

6、已知：，求证：综合法分析法反证法

7、如果a1为无理数，求证：a是无理数

【达标检测】

1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．命题“对于任意角θ，cosθ－sinθ＝cos2θ”的证明：“cosθ－sinθ＝(cosθ－sinθ)(cosθ＋sinθ)＝cosθ－sinθ＝cos2θ”的过程应用了( )

A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法

3．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )

11ba2222A．ac＜bc B．a＞ab＞b C.＞2222244442abab

4．若Paa＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )

A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定

5．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是( )

A．f(2.5)＜f(1)＜f(3.5) B．f(2.5)＞f(1)＞f(3.5)

C．f(3.5)＞f(2.5)＞f(1) D．f(1)＞f(3.5)＞f(2.5)

6.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 .

①假设a、b、c都是偶数

②假设a、b、c都不是偶数

③假设a、b、c至多有一个偶数

④假设a、b、c至多有两个偶数

【反思总结】 2

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