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音乐与数学(共10篇)

音乐与数学（一）

为什么说音乐和数学有关系

一天,古希腊哲学家毕达哥拉斯散步时,经过一家铁匠铺,意外地发现里面传出的打铁的声音,要比别的铁匠铺协调、悦耳.他对此产生了兴趣,于是走进铺子,量了量铁锤和铁砧的大小,终于发现了一个规律：音响的和谐与发声体体积的一定的比例有关.后来,他又在琴弦上作试验,进一步发现只要按比例划分一根振动的弦,就可以产生悦耳的音程：1:2=八度,2:3=五度,3:4=四度.就这样,毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系.毕达哥拉斯认为,音乐之所以神圣而崇高,就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系.音乐与数学的关系是十分密切的.中世纪哲学家圣奥古斯丁说,音乐就是由数所规定的运动,这句话也许过分,但音乐中存在着明显的数字规律,是不容怀疑的.节拍与一、二、三.在音乐的各种要素中,时间是很重要的,而音乐的时间是通过一个一个的节拍显示出来的.音乐的节拍有很多形式,常见的是2／4、3／4、4／4、6／8等,它标志着一个小节中有不同数目的拍子和不同的强弱关系.然而分析一下各种节拍,可以发现它们的基本结构很简单,除了一拍子、二拍子、三拍子这三种单拍子外,四拍子以上的复拍子都以这三种拍子的变化组合而成,如5／4拍,可以分成2+3拍或3+2拍.可见一、二、三就像是音乐时间的一砖一瓦,音乐大厦都是用它们建筑起来的.音调与一、二、三、四.音乐必须有美的曲调,美的音调必须是和谐的,所以音乐是建立在和谐音调基础上的,而最和谐音调的频率比例就是1:2:3:4.如果我们以一个音的频率当作音阶的主音,按1:2:3:4的规律,我们就得到一个音阶中最谐和的几个音———1:2得到八度音,2:3得到五度音,3:4得到四度音.当你听到优美和谐的音调时,可曾想到这种音乐上的美感还反映了数的美?在一根琴弦上发出的声音,并不是一个音,除了整根弦发出的音外,这根弦的各个点也发出轻微的泛音,泛音的产生是由于琴弦的1／2、1／3、1／4、1／5……等处的振动.泛音的分布和强度不同,形成不同的音色.音乐离不开音色,音色产生于泛音,泛音的产生联系着数学,可见音乐与数的关系多密切了.另外,利用计算机作曲从20世纪50年代就开始了.人们把音程、节奏、音色等素材都编成数码,发出指令,计算机可编写出乐曲并演奏出来.还有,在乐器的制造上、音乐厅的设计上,都要依靠精密的数学计算、音乐厅的设计上,都要依靠精密的数学计算,等等.从以上事例可以看出：音乐和数学有着密切的联系.当然,有些问题还要深入地研究.

音乐与数学（二）

数学和音乐的关系?
谁能说说看数学和音乐有什么关系?
听说古代某地（哪里忘了）有人用数学解释音乐?
到底有关系么?

　　乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方.在乐谱中,我们可以找到拍号(4:4,3:4或1:4等)、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等.谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数,这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里,不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍.然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起.对一部完整的作品进行分析,我们会看到每一个音节都有规定的拍数,而且运用了各种合适长度的音符.
　　除了上述数学与乐谱的明显联系外,音乐还与比例、指数曲线、周期函数以及计算机科学等相关联.毕达格拉斯的追随者们（公元前585-400）最先用比例把音乐和数学结合起来.他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系,拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度.他们还发现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出.事实上被拨动弦的每一种和谐的结合,都能表示为整数比.由增大成整数比的弦的长度,能够产生全部的音阶.例如,从一根产生音C的弦开始,接着C的16/15给出B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给出G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给出D,C的1/2给出低音C.
　　你可能感到惊奇,为什么平台钢琴有它特有的形状?实际上很多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着.指数函数就是其一.例如y=2x.乐器,无论是弦乐还是管乐,在他们的结构中都反映出指数曲线的形状.
　　对乐声本质的研究,在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰.他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述,它们是一些简单的正弦周期函数的和.每种声音都有三种品质：音调、音量和音色,并以此与其他的乐声相区别.
　　傅立叶的发现,使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分.音调与曲线的频率有关,音量与曲线的振幅有关,音色则与周期函数的形状有关.
　　很少有人既通晓数学又通晓音乐,这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功.数学的发现：周期函数,是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓.许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图像,与这些乐器理想声音的图像相比较然后加以改进的.电子音乐的忠实再生也是跟周期图像紧密联系着的.音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面,继续担任着同等重要的角色.

音乐与数学（三）

数学与音乐的本质联系是什么

　　数学与音乐
　　文章来源：《数学通报》
　　在这一轮课程改革中,“数学与文化”成为了数学和数学教育工作者最为关注的问题之一. 实际上,在很长一段时间内,许多数学和数学教育工作者已经在思考和研究这个问题, 在即将推行的“高中数学课程标准”中,明确的要求把“数学文化”贯穿高中课程的始终. 对于涉及“数学文化”的一系列理论问题,应该承认还没有讨论得很清楚, 还有很多的争论,例如,很多学者对“数学文化”这个说法也有疑义,我们认为这是很正常的. 对这些问题的研究,我们建议从两个方面同时进行, 一方面进行理论上的研究;另一方面,积极地开发一些“数学与文化”的实例,案例,课例,探索如何将“数学文化”渗透到课堂教学中,如何让学生从“数学文化”中提高数学素养, 在此基础上再进行一些理论上的思考,从实践到理论,做一些实证研究. 下面是我们提供的一个实例 ———数学与音乐,也可以看作一个素材,很希望工作在一线的教师能作进一步的开发,能使这样的素材以不同的形式进入课堂或课外活动.我们也希望有更多的人来开发这样的素材, 并希望这些素材能出现在教材中.
　　在数学课程标准的研制过程中,我们结识了一些音乐界的专家,他们给我们讲述了很多音乐和数学的联系,数学在音乐中的应用,他们特别强调,在计算机和信息技术飞速发展的今天,音乐和数学的联系更加密切, 在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面, 都需要数学. 他们还告诉我们,在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献. 他夏天景色们和我们都希望有志于音乐事业的同学们学好数学,因为在将来的音乐事业中,数学将起着非常重要的作用.
　　《梁祝》优美动听的旋律《,十面埋伏》的铮铮琵琶声,贝多芬令人激动的交响曲, 田野中昆虫啁啾的鸣叫 ……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系?
　　其实,人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长. 这最早可以追溯到公元前六世纪,当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来[1]. 他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的. 于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagorean Scale) 和调音理论诞生了 , 而且在西方音乐界占据了统治地位. 虽然托勒密(C. Ptolemy ,约100 —165 年) 对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造 ,得出了较为理想的纯律音阶(the Just Scale) 及相应的调音理论 ,但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(the temperedScale) 及相应的调音理论出现才被彻底动摇. 在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律, 时间大约在春秋中期《管子.地员篇》和《吕氏春秋.音律篇》中分别有述;明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述,在《律吕精义 ?内篇》中对十二平均律理论作了论述,并把十二平均律计算的十分精确, 与当今的十二平均律完全相同, 这在世界上属于首次.由此可见,在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起. 从那时起到现在, 随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.感觉的音乐中处处闪现着理性的数学.乐谱的书写离不开数学.
　　看一下乐器之王 ———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1) . 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键 ,而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个黑键 ,一组有 3 个黑键.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.
　　如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合, 那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的. 再来看图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个 C键发出乐音的振动次数(即频率) 是第一个 C 键振动次数的 2倍,因为用2 来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的. 我们容易求出分割比 x ,显然 x 满足 x12= 2 ,解这个方程可得 x 是个无理数 , 大约是 1106.于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1106 倍 ,而全音的音高是那个音的音高 11062 倍. 实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[3].
　　音乐中的数学变换.
　　数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换呢 ?我们可以通过两个音乐小节[2]来寻找答案. 显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移, 这实际上就是音乐中的反复. 把两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为图 3. 显然,这正是数学中的平移. 我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的. 比如, 图 4 就是西方乐曲 When the Saints GoMarching In 的主题[2] ,显然 ,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的.
　　如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴 x) ,与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y) ,那么我们就在五线谱中建立了时间 - 音高的平面直角坐标系. 于是, 图 4 中一系列的反复或者平移,就可以用函数近似地表示出来[2] , 如图 5 所示,其中 x 是时间, y 是音高. 当然我们也可以在时间音高的平面直角坐标系中用函数把图2中的两个音节近似地表示出来.
　　在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家,他就是约瑟夫.傅里叶 (Joseph Fourier) ,正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰. 他证明了所有的乐声, 不管是器乐还是声乐, 都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和[1].
　　音乐中不仅仅只出现平移变换,可能会出现其他的变换及其组合,比如反射变换等等. 图6 的两个音节就是音乐中的反射变换[2]. 如果我们仍从数学的角度来考虑,把这些音符放进坐标系中, 那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换,如图 7所示. 同样我们也可以在时间 - 音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来.
　　通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果.
　　大自然音乐中的数学.
　　大自然中的音乐与数学的联系更加神奇,通常不为大家所知. 例如[2] , 蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系,我们可以用一个一次函数来表示:C = 4 t – 160.其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数, t 代表温度.按照这一公式,我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数,不用温度计就可以知道天气的温度了!
　　理性的数学中也存在着感性的音乐.
　　由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适当的分段,形成适当的小节, 并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在,那么就可以作出一节节的乐曲. 由此可见,我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉 .巴托克那样利用黄金分割来作曲,而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲. 这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作,也是其工作的逆过程. 其中最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫 .希林格(JosephSchillinger) ,他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上,然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲,最后在乐器上进行演奏, 结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲[2] !这位教授甚至认为,根据一套准则,所有的音乐杰作都可以转变为数学公式. 他的学生乔治 .格什温(George Gershwin) 更是推陈出新, 创建了一套用数学作曲的系统, 据说著名歌剧《波吉与贝丝》(Porgy and Bess) 就是他使用这样的一套系统创作的.
　　因而我们说, 音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然,而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现. 我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或对大自然、人生的态度等表现出来,即音乐抒发人们的情感, 是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触,因而它是用来描述客观世界的,只不过是以一种感性的或者说是更具有个人主体色彩的方式来进行. 而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界,使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识, 并通过一些简洁、优美、和谐的公式来表现大自然. 因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的,只是描述方式有所不同,但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务,于是它们之间存在着内在的联系应该是一件自然而然的事.
　　既然数学与音乐有如此美妙的联系,为何不让我们沉浸在《梁祝》优美动听的旋律中或置身于昆虫啁啾鸣叫的田野里静下心来思考数学与音乐的内在联系呢 ?为何不让我们在铮铮琵琶声中或令人激动的交响曲中充满信心地对它们的内在联系继续探索呢 ?
　　上面,我们提供了一些数学与音乐联系的素材,如何将这些素材“加工”成为“数学教育”的内容呢?我们提出几个问题仅供教材编写者和在一线工作的教师思考.
　　1) 如何将这样的素材经过加工渗透到数学教学和数学教材中 ?
　　2) 能否把这些素材编写成为“科普报告”, 在课外活动中,向音乐和数学爱好者报告,调查,了解,思考这样的报告对学生的影响以及学生对这样的报告的反映.
　　若干世纪以来,音乐和数学一直被联系在一起.在中世纪时期,算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中.今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断.
　　乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域.在乐稿上,我们看到速度、节拍（4／4拍、3／4拍,等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符,等等.书写乐谱时确定每小节内的某分音符数,与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应.作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的.如果将一件完成了的作品加以分析,可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数.
　　除了数学与乐谱的明显关系外,音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系.
　　毕达哥拉斯学派（公元前585～前400）是最先用比率将音乐与数学联系起来的.他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关,从而发现了和声与整数的关系.他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比.按整数比增加弦的长度,能产生整个音阶.例如,从产生音符C的弦开始,C的16／15长度给出B,C的6／5长度给出A,C的4／3长度给出G,C的3／2长度给出F,C的8／5长度给出E,C的16／9长度给出D,C的2／1长度给出低音C.
　　你是否曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问?实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关.指数函数和指数曲线就是这样的概念.指数曲线由具有y＝kx形式的方程描述,式中k＞0.一个例子是y＝2x.它的坐标图如下.
　　不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器,它们的结构都反映出一条指数曲线的形状.
　　19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点.他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述,这些数学式是简单的周期正弦关于星空的作文函数的和.每一个声音有三个性质,即音高、音量和音质,将它与其他乐声区别开来.
　　傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来.音高与曲线的频率有关,音量和音质分别与周期函数①的振幅和形状有关.
　　如果不了解音乐的数学,在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展.数学发现,具体地说即周期函数,在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的.许多乐器制造记叙文的写作方法者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较.电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关.音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥同等重要的作用.
　　上图表示一根弦的分段振动和整体振动.最长的振动决定音高,较小的振动则产生泛音.
　　①周期函数即以等长区间重复着形状的函数.

音乐与数学（四）

音乐和数学的关系?联系

如果说音乐和数学有关系的话,应该是对称的美感方面吧.对音乐和数学都没什么研究,就不说什么了.不过倒是记得爱因斯坦得到质能方程时,因为公式中和谐对称得美感,就认定这是对的.而实际也确实如此,那个公式中等式左右质量能量互相转化因子的非常和谐.但是,个人以为,音乐不该模仿自然,大自然不像我们头脑中那么和谐、美丽、丰富,我们看到的和感受到的那种美,是无数人的艰难辛苦甚至生命换来的.自然中的极美是留给勇敢者的,然后让他们（她们）付出生命的代价.前两天看一个音乐介绍,说起一段描写人的主题,塑造完之后,变成了海的主题.而且并无不当之处.这一轶事让我觉得有种豁然开朗的感觉,何必在意抒情还是状物呢,我们表达的自然就是我们感受的主观的自然,在一个写人的主题上听出山海林木,或者在山海林木的主题中听出自己的情感起伏又有什么要紧呢?记得看过写毕加索的一篇文章,结尾只有一句话“毕加索是一个世界.”正是这样,那些伟大的作曲家呈现给我们的就是一个世界——一个内在和外在共通的世界.【音乐与数学】

音乐与数学（五）

音乐和数学能扯上关系么?【音乐与数学】

当然有,举例而言,伯努利在研究音乐时,发现了奇函数可以写成正弦级数的形式（早于傅里叶）.
再有就是：
中国明代音乐家皇族身份的朱载堉于万历十二年（1584年）首次提出“新法密率”（见《律吕精义》、《乐律全书》）,推算出将八度音等分为十二等分的算法,并制造出新法密率律管及新法密率弦乐器,是世界上最早的十二平均律乐器.
将八度音等分为十二等分,其数学意义如下：
八度音指的是频率加倍（即二倍频率）.因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数,其结果就是每个音的频率为前一个音的2的12根= 1.059463094359295倍.
在朱载堉发表十二平均律理论之后52年,Pere Marin Mersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论.
德国作曲家巴赫于1722年发表的《平均律键盘曲集》,有可能就是为十二平均律的键盘乐器所著.

音乐与数学（六）

数学与音乐和美术有关吗?

有关.
比如说：
学音乐要学到几分音符,如四分音符八分音符十六分音符,和数学有关；
学美术要用到立体几何,这更不用说了,和数学有大大的关系.

音乐与数学（七）

音乐和美术两个小组平均50人,美术和数学两个小组平均43人,音乐和数学两个小组平均45人.三个小组各有多少人

三个小组的人数和为 50+43+45=138 138-50×2=38 138-43×2=52 138-45×2=48 数学组有38人,音乐组有52人,美术组有48人.

音乐与数学（八）

我是左撇子,但也不聪明和对数学和音乐擅长啊?音乐唱歌走调?这是为什么呢?

没人说左撇子数学和唱歌就一定好啊.不过有研究证明,用左撇子可以锻炼右脑,而右脑可以提高逻辑思维能力,因此对学数学有好处,你数学不好有两方面的原因：1、你的数学智能没找到发挥的空间,比如说你们现在学的是函数,而你的特长在空间几何,只是你未发现罢了.2、老师没教好,没让你提高对数学的兴趣,因为兴趣很重要（我以后当老师一定要让学生爱上我的课!）音乐方面,也午两个因素有关：1、受你父母遗传的影响 2、改变先天不好的遗传影响就得后天努力,你是缺少专门的发声练习,可以找一个唱的比较好的老师或同学,像他们取经…祝你成功!

音乐与数学（九）

数学在音乐中的奇妙功能和应用,举出具体例子

看看这个著名的例子：我国明朝发明,比西方早100多年
十二平均律,亦称“十二等程律”,是指将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分成十二等份,每一等份称为一个半音即小二度.一个大二度则是两等份.将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧.它的纯五度音程的两个音的频率比(即 2 的 7/12 次方)与 1.5 非常接近,人耳基本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别.同时,“十二平均律”的纯四度和大三度,两个音的频率比分别与 4/3 和 5/4 比较接近.也就是说,“十二平均律”的几个主要的和弦音符,都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的,只有极小的差别,这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件,因 为这些乐器是靠自然泛音级(如前文所述,自然泛音序列,其频率是基音频率的整数倍序列,成等差数列)来形成音阶的.半音是十二平均律组织中最小的音高距离.十二平均律在交响乐队草坡和键盘乐器中得到广泛使用,现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的,因为只有 “十二平均律”才能方便地进行移调.

音乐与数学（十）

参加数学的占兴趣小组的50%,音乐占30%,美术占20%,
你能算出美术小组有多少人吗?
音乐组比数学组少多少人?
参加数学和音乐的共有40人

数学和音乐40人,共占80%,所以一共是50人
数学：25人
音乐：15人
美术：10人
问题不就解决了

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